請教3題函數與極限,謝謝!!

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1.設y=20k=1x−k+3x+2 ，則y的最小值?此時x之值?

2.limx1(x−1)22x2+a−x+b= 定值,求a,b?

3.設abxR,若f(x)=limnx2n+1x2n−1+ax+b為連續函數,則求a,b?

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-3-18 04:15 PM 編輯 ]

第1題：

當 x9 時，y=20k=1x−k+3x+2  的各折線段斜率皆為負，

當 x9 時，y=20k=1x−k+3x+2  的各折線段斜率皆為正，

且因為 y=20k=1x−k+3x+2  的圖形為連續的折線段，

所以當 x=9 時，圖形有最低點，即 x=9 時，y 有最小值為 131 。


第 2 題：

因為 limx1x−122x2+a−x+b 為定值，

所以 limx12x2+a−x+b=0 

2+a−1+b=0a=b2−2b−1 

limx1x−122x2+a−x+b=limx1x−122x2+b2−2b−1−x+b

　　=limx12x2+b2−2b−1−x−b2x−122x2+b2−2b−1+x−b 

　　=limx1x2−1+2bx−1x−122x2−b−1+x−b 

　　=limx1x+1+2bx−1x−122x2−b−1+x−b 

　　=limx1x+1+2bx−12x2−b−1+x−b 

因為上式為定值，所以 limx1x+1+2b=0 

1+1+2b=0b=−1a=b2−2b−1=2



第 3 題：

當 −1x1 時，f(x)=limnx2n+1x2n−1+ax+b=ax+b

limx1−f(x)=a+b 且 limx−1+f(x)=−a+b

當 x1 或 x−1 時，f(x)=limnx2n+1x2n−1+ax+b=limn1+1x2nx−1+ax2n−1+bx2n=x1

limx1+f(x)=1 且 limx−1−f(x)=−1

當 x=1 時，f(1)=limn12n+112n−1+a+b=21+a+b

當 x=−1 時，f(−1)=limn−12n+1−12n−1−a+b=2−1−a+b

因為 f(x) 為連續函數，

所以 limx1+f(x)=limx1−f(x)=f(1) 且  limx−1+f(x)=limx−1−f(x)=f(−1)

1=a+b=21+a+b 且 −a+b=−1=2−1−a+b

可解得 a=1b=0

第 1 題補充觀察的方法：

易知 y=20k=1x−k  在 10x11 之間，折線段斜率為 0

且每往右邊通過一個折點，斜率增加 2，每往左邊通過一折點，斜率減少 2，

故 y=20k=1x−k+3x+2  （那個常數不是重點，重點是所有折線段的斜率都加 3 了）

會在 x9 時，折線段斜率都為正，且當 x9 時，折線段斜率都為負。

即當 x=9 時，圖形有最低點。



第 2 題另解：

令 f(x)=2x2+a−x−b2 

因為 x−12f(x)

所以 f(1)=f(1)=0

可解得 b=−1a=2