向大家請教一下這2題該如何解?

謝謝

1.建中通訊解題第60期第2題
http://math1.ck.tp.edu.tw/%B3q%B0T%B8%D1%C3D/doc/answer60.doc

2.已知 xy 是實數，且(x−11)5+15(x−11)=5(y−4)5+15(y−4)=−5 ，則x+y=？


weiye 註：感謝 bugmens 協助找出第一題的題目出處，並且將第二題重新打字。故，由 weiye 刪除原題附加檔案。

第 1 題

延伸各邊長，可將此多邊形切成很多平行四邊形及一個正三角形，

不難解出各平行四邊形及一個正三角形的面積。

第 2 題：

令 f(x)=x5+15x+c，其中 c 為實數，

由 f(x)=5x4+150 （xR）恆成立，

可知 f(x)=0 恰只有一實根。

再搭配題述，可知 x−11 與 y−4 互為相反數，

故， x−11+y−4=0x+y=15 

我看不太懂第二題
請問可以詳加解釋嗎?

第 2 題，換個方式說明。

令 a=x−11, b=y−4 （因為 xy 都是實數，所以 ab 也都是實數）

可得 a5+15a−5=0 且 b5+15b+5=0

將第二式稍微整理一下，

b5+15b+5=0−b5−15b−5=0−b5+15−b−5=0 

也就是 a 與 −b 都會是 t 的方程式「t5+15t−5=0 」的實根耶！

如果可以說明 t5+15t−5=0 也就只有一個實根而已，那就可以得到 a=−b 了。




所以下面來說明為什麼　t5+15t−5=0 也就只有一個實根。

若 pq 都是 t5+15t−5=0 的實根，且 p=q

因為 p=q，所以 必有 pq 或 pq 其中一個，

不失一般性可以假設 pq（"不失一般性"也就表示若 p<q 也可以用同樣方法處理之）

則 p^5>q^5 且 15p>15q

\Rightarrow p^5+15p>q^5+15q\Rightarrow p^5+15p-15 = q^5+15q-15

但是因為 p,q 都是 t 的方程式「t^5+15t-5=0 」的實根，也就是說 p^5+15p-15=0 且 q^5+15q-15=0

因此，帶入 p^5+15p-15 > q^5+15q-15 會得到 0>0

這顯然是矛盾的。

可是上面的推論都很合理呀，所以是哪裡錯了導致矛盾發生了，

就是我們一開始假設的 p>q 錯了，

同上面的手法，可以說明 p<q 也會是錯的，

因此 p=q

也就是 t 的方程式「t^5+15t-5=0 」不會有不一樣的實根（即，不會有「相異的」實根），

也就是 t 的方程式「t^5+15t-5=0 」如果有兩個實數都是它的根，那這兩個數必定相等。



回到剛剛的主題，

因為 a 與 -b 都會是 t 的方程式「t^5+15t-5=0 」的實根，

且 t 的方程式「t^5+15t-5=0 」不會有不一樣的實根，

也就是 a 一定要與 -b 相等，

\Rightarrow a=-b\Rightarrow a+b=0\Rightarrow \left(x-11\right)+\left(y-4\right)=0\Rightarrow x+y=15

<很謝謝weiye老師的詳盡解答，為小弟解惑>

[ 本帖最後由 阿良 於 2014-3-15 09:41 PM 編輯 ]