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請教一題函數

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請教一題函數

設\( f(x)=x^2+x \)。若\( f_1(x)=f(x) \)且對所有的正整數\(n\)均滿足\( f_{n+1}(x)=f(f_n(x)) \)。試問\( f_{2010}(x)=0 \)有多少個相異實數解?

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回復 1# sherlock 的帖子

對任意正整數 \(n\) ,

恆有 \(x\left(x+1\right)\Bigg| f_n \left(x\right)\),所以 \(f_n(x)=0\) 至少有兩實根 \(x=0,-1\),



case i: 對任意實數 \(t>0\),恆有 \(t\left(t+1\right)>0\)

    所以 \(f_n\left(x\right)>0\) 恆成立,即 \(f(x)=0\) 無正根。

case ii: 對任意實數 \(t<-1\),恆有 \(t\left(t+1\right)>0\)

    承 case i,恆有 \(f_n\left(x\right)>0\) ,即 \(f(x)=0\) 無小於負一的根。

case iii: 對任意實數 \(-1<t<0\),恆有 \(-1<t\left(t+1\right)<0\)

    所以 \(f_n\left(x\right)<0\) 恆成立,即 \(f(x)=0\) 在開區間 \(\left(-1,0\right)\) 無實根。

故, \(f_n\left(x\right)=0\) 僅有兩相異實根 \(x=0,-1\)。









另解,

或是見下圖,分別是以 \(\displaystyle x>1,\quad -\frac{1}{2}\leq x<0,\quad -1<x<-\frac{1}{2},\quad x<-1\)

帶入 \(f(x)=x\left(x+1\right)\) 進行 \(n\) 次疊代,可知經「有限次」疊代 (iteration) 後的結果都不會是 \(0\)。

  
  (上圖,當 \(x>1\) 時,\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} f_n\left(x\right)=\infty\))


  
  (上圖,當 \(\displaystyle -\frac{1}{2}\leq x<0\) 時,\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} f_n\left(x\right)=0\))


  
  (上圖,當 \(\displaystyle -1<x<-\frac{1}{2}\) 時,\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} f_n\left(x\right)=0\))


  
  (上圖,當 \(x<-1\) 時,\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} f_n\left(x\right)=\infty\))

而 \(x=0\) 顯然是疊代時候的固定點(即 \(f(0)=0\) ),且 \(f(-1)=0\)。

  

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這題好玩的地方在於:除了 x = 0 和 -1 之外,f_(n+1)(x) > f_n(x)

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