設f(x)=x2+x。若f1(x)=f(x)且對所有的正整數n均滿足fn+1(x)=f(fn(x))。試問f2010(x)=0有多少個相異實數解？

對任意正整數 n ，

恆有 xx+1fnx，所以 fn(x)=0 至少有兩實根 x=0−1，

且

case i: 對任意實數 t0，恆有 tt+10 

　　　　所以 fnx0  恆成立，即 f(x)=0 無正根。

case ii: 對任意實數 t−1，恆有 tt+10 

　　　　承 case i，恆有 fnx0  ，即 f(x)=0 無小於負一的根。

case iii: 對任意實數 −1t0，恆有 −1tt+10 

　　　　所以 fnx0  恆成立，即 f(x)=0 在開區間 −10  無實根。

故， fnx=0  僅有兩相異實根 x=0−1。









另解，

或是見下圖，分別是以 x1−21x0−1x−21x−1

帶入 f(x)=xx+1  進行 n 次疊代，可知經「有限次」疊代 (iteration) 後的結果都不會是 0。

　　

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2014-3-12 15:03

　　（上圖，當 x1 時，limnfnx= ）


　　

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2014-3-12 15:03

　　（上圖，當 −21x0 時，limnfnx=0 ）


　　

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　　（上圖，當 −1x−21 時，limnfnx=0 ）


　　

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2014-3-12 15:03

　　（上圖，當 x−1 時，limnfnx= ）

而 x=0 顯然是疊代時候的固定點（即 f(0)=0 ），且 f(−1)=0。

　　

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2014-3-12 15:17

這題好玩的地方在於：除了 x = 0 和 -1 之外，f_(n+1)(x) > f_n(x)