想請教老師們三題，如附件
4.
若直線L：4x−3y+1=0與一圓C：x2+y2−4x−5=0交於AB二點，又圓C外另一點P(−27)，求ABP外接圓的面積=　　　。
Ans：484675

10.
投擲一個公正骰子四次，其點數和為10的機率=　　　。

12.
有10位同學，數學平均分數為60分，樣本標準差為4分，已知10人中8人得分為54，56，57，58，60，61，64，65，則另二人的得分為　　　。
(n個抽樣數值x1x2xn的樣本標準差公式為S=1n−1ni=1(xi−x)2，而x=n1ni=1xi) 

4.外接圓的面積
(求出三點坐標，其中一點數字很醜，想利用中垂線解外心坐標，再求出半徑=到三點距離，算出答案還是怪怪的)
10.骰子點數和
(不曉得有沒有比較有系統的討論)
12.統計標準差問題
(設一人x分，另一人125−x，求一元二次方程式就卡住了)

4. 利用圓系，假設外接圓方程式 x^{2}+y^{2}-4x-5+k(4x-3y+1)=0

由 P(-2,7) 可得 k = 2 而得外接圓之方程式為 (x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16

故該圓面積為 16\pi ，與所給的答案不相同

另外可證解得 A, B 兩點為 (2,3), (-\frac{22}{25},-\frac{21}{25}) (可檢驗外接圓沒算錯)

所以答案可能給錯了？不然就是題目打錯數字

12. 是因為 x 太大，不好因式分解吧？那就公式解或者改令 y = x-60

10. x+y+z+w = 10 的正整數解有 H^4_6 =84 組，其中 (7,1,1,1) 及其排列四組不合

故所求 \displaystyle = \frac{80}{6^{4}}=\frac{5}{81}

10.

若四次點數分別為 x_1,x_2,x_3,x_4，則

x_1+x_2+x_3+x_4=10

其中，x_1,x_2,x_3,x_4\in\left\{1,2,3,4,5,6\right\}

（另一個觀點是轉換為 \left(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6\right)^4 展開之後的 x^{10} 的次方數 ）

有序數組 (x_1,x_2,x_3,x_4) 的整數解的組數為 H_{6}^4-C^4_1H_0^1=80

所求 ＝ \displaystyle \frac{80}{6^4}=\frac{5}{81}


12.

將十位同學的成績都減去 60 分之後，設另兩位不知道分數的同學的成績會變為 a,b

則

a+b+(-6)+(-4)+(-3)+(-2)+0+1+4+5=0

且 a^2+b^2+(-6)^2+(-4)^2+(-3)^2+(-2)^2+0^2+1^2+4^2+5^2=9\cdot\left(0^2+4^2\right)

兩者解聯立方程式可得 (a,b)=(6,-1) 或 (-1,6)

故，另兩位同學的原始成績為 66 與 59 分。

謝謝老師您的提醒，可以用圓系解就快多了。

謝謝老師提供另外解法。
12題的確，直接另兩個未知數先扣掉平均解就變得很容易，不用刻意降低未知數。