請教一極限問題   如附件   謝謝!!

題目：

設數列 an 的前 n 項和為 Sn  (n2)

a1=1，若 3Sn2=an3Sn−1 

(1) 試證：數列 1Sn  為一等差數列

(2)若 bn=Sn3n+1 且 bn 的前 n 項和為 Tn，求 limnTn=?.



解答：

(1)

定義 S1=a1

當 n2 時，

3Sn2=an3Sn−1 

3Sn2=Sn−Sn−13Sn−1 

3Sn2=3Sn2−3SnSn−1+Sn−1−Sn

Sn−1−Sn=3SnSn−1

1Sn−1Sn−1=3n2

1Sn  是首項為 1，公差為 3 的等差數列。

(2)

當 n 為正整數時，

1Sn=1S1+n−13=1+n−13=3n−2 

bn=Sn3n+1=13n+13n−2=3113n−2−13n+1 

Tn=nk=1bk=3111−13n+1 

limnTn=31