找\(2x^2+y^2+(2x-y+3)^2\)的最小值。

我是把它全部乘開整理，不過好像觀察不出結果。

想請問該如何解？

[x^2 + x^2 + y^2 + (2x - y + 3)^2][(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 1^2] ≧ (-x - x + y + 2x - y + 3)^2

解一：

令 \(z=2x-y+3\)，題目相當於…

已知 \(2x-y-z=-3\)，求 \(2x^2+y^2+z^2\) 的最小值。

可用柯西不等式，求得最小值。

註：感謝 thepiano 老師提醒小弟的筆誤（已修正）。

若令 \(x'=\sqrt{2} x\)，則所求＝原點\((0, 0, 0)\)到平面
\(\sqrt{2} x'-y-z=-3\) 距離的平方值。


解二：直接用柯西不等式，

\(\left(\left(\sqrt{2} x\right)^2+y^2+\left(2x-y+3\right)^2\right)\left(\left(-\sqrt{2}\right)^2+1^2+1^2\right)\geq\cdots\cdots\)

解三：

完全展開，以 \(x\) 為未知數降次排列，配方，剩下的有 \(y\) 的部份，再以 \(y\) 為未知數，再配方，可得最小值。

解四：

將 \(2x^2+y^2+(2x-y+3)^2\) 完全展開，令其為 \(f(x, y)\)，解 \(\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}=0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}=0\)，可得極值發生時的 \(x, y\) 值，帶回 \(f(x, y )\) 可得極值。

解五：

同解一的開頭，找出限制方程式與欲求極值的函數，但改用 Lagrange 乘數法（可 google，維基百科應該有介紹）。

我了解了！！謝謝你們的回答～

解六：令原式為 \(k\)，展開寫成 \(x\) 的一元二次方程式，因為 \(x\) 為實數，所以判別式 \(\geq0\)，可得 \(y\) 的一元二次式恆非負，再由 \(y\) 的一元二次式的判別式恆非正，可得 \(k\) 的範圍。

另，應該可以再由二元二次式的旋轉與平移（橢圓）下手也來個另解，交給有緣人了。 :p

weiye 老師的另，寫起來其實和解四一樣，只是觀點不同。

展開平移旋轉後為 \( Ax^2 + By^2 +C\) ，易知 \( A, B >0 \) (不需要計算 \(A, B\))

故 \( Ax^2+By^2 +C \geq C \)，最小值即為 \( C \)。而 \(C\) 的值即解 4 的計算 (將橢圓中心點坐標代入目標函數)