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請教一題,球面方程式

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請教一題,球面方程式

若 \(x,y,z\in\mathbb{R}\)  且 \(x^2+y^2+z^2=1\),則 \(\displaystyle \frac{x+y+z+2}{x-y+z+4}\) 之範圍為_____________     


答案:\(\displaystyle \left[\frac{1}{13}, 1\right]\)

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不好意思  第一次發言
我有嘗試  使用科西、球體、兩平面共線  下手
但答案都不是很滿意    可否  請教諸位高手
幫忙解除疑惑     感謝大家  loty

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回復 2# loty 的帖子

令 \(\displaystyle k=\frac{x+y+z+2}{x-y+z+4}\)

則 \(\displaystyle \left(1-k\right)x+\left(1+k\right)y+\left(1-k\right)z+\left(2-4k\right)=0\)

因為平面 \(\displaystyle \left(1-k\right)x+\left(1+k\right)y+\left(1-k\right)z+\left(2-4k\right)=0\) 與球面 \(x^2+y^2+z^2=1\) 有共同交點(存在實數 \(x,y,z\) 使得兩方程式同時成立)

所以 \(\displaystyle \frac{\Bigg|\left(1-k\right)\cdot0+\left(1+k\right)\cdot0+\left(1-k\right)\cdot0+\left(2-4k\right)\Bigg|}{\sqrt{\left(1-k\right)^2+\left(1+k\right)^2+\left(1-k\right)^2}}\leq1\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{13}\leq k\leq1\)

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感謝瑋岳老師  解法非常漂亮
受益良多   by  loty

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