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2013-7-21 15:44

利用以下定理
f(z) 與 g(z) 為多項式，當點 z 在閉曲線 C 上時，若滿足 |f(z)| ＞ |g(z)|，則方程式 f(z) + g(z) = 0 與 f(z) = 0 在閉曲線 C 之內部的複數根個數相同

z^6 - 6z^5 + 8z^2 - 1 = 0 在 |z| = 2 內有 5 個根，在 |z| = 1/2 內有 2 個根
所求為 5 - 2 = 3 個

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2013-7-21 18:30

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2013-7-21 18:32

兩者有意義 \( \Rightarrow t>0 \)

算幾不等式有 \( \frac{t+1}{2} \geq \sqrt{t} \)

若 \( a>1 \)，則 \( \frac12 \log_a t \leq \log_a \frac{t+1}{2} \)

若 \( 0<a<1 \)，則 \( \frac12 \log_a t \geq \log_a \frac{t+1}{2} \)

以上等號僅在 \( t = 1 \) 時，成立

利用定理：設 \( f_n: R \to R \) 皆為連續函數，\( K \subset R \) 為一緊緻集 (compact set)，若 \( f_n \) 在 \( K \)  上均勻收斂至  \( f \)，則 \( f\big|_K \) 為連續函數。

利用 Ratio Test 的證明方式，可以得到：對任意 \( r> 0, K = [-r,r], r>0 \)，\( f_n \) 皆均勻收至 \( f \)，故 \( f\big|_K \) 皆為連函數，對任意 \( r>0 \)

因此 \( f: R\to R \) 亦為連續函數。