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獨立事件問題

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獨立事件問題

小弟不才,附檔有關獨立的問題,麻煩各位能為小弟解惑

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2013-7-17 13:41, 下載次數: 1079

這是問題

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引用:
原帖由 學偉 於 2013-7-17 01:41 PM 發表
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例1:

設袋中有編號1~8的8顆球,從中任取一球,樣本空間S={1,2,3,4,5,6,7,8},設事件A={1,2,3,4},B={1,2,5,6},C={1,2,7,8},則

P(A)=P(B)=P(C)=\(\frac{1}{2}\)

AΛB={1,2}

依照定義P(AΛB)= \(\frac{2}{8}\)= P(A) P(B),所以A,B事件獨立

這邊我可以解釋成抽一顆球,可能抽到1,2,3,4號稱為A事件,可能抽到1,2,5,6號稱為B事件,A,B獨立的意思是指A事件的發生的機率不會影響B事件發生的機率,沒錯吧! 那以例1的觀點看待例2,


例2:

袋中改為編號1~6的6顆球,

樣本空間改成S’={1,2,3,4,5,6}

A’={1,2,3,4},B’={1,2,5,6}

那A’ΛB’={1,2}

P(A’ΛB’)= \(\frac{2}{6}\neq\) P(A’) P(B’)=\(\frac{4}{6}\times \frac{4}{6}\)

為什麼A’, B’沒有獨立。
因為 \(P(A’\cap B’)\) 並不等於 \(P(A’) P(B’)\)

所以 \(A'\) 與 \(B'\) 並不滿足獨立事件的定義,也就是兩事件沒有獨立。
引用:
3.在[網站] 高中數學講義 WORD檔&PDF檔、數學筆記(電子檔)  裡面參考了建中陳嘯虎老師的99課綱教學重點整理,裡頭說明:三事件兩兩獨立,三事件未必獨立的例子,我對於他只針對取一球的說明方式不是很了解,不知道有沒有取兩球以上的例子或者更好的例子呢?
該例子在解釋:即便 \(P(A\cap B)=P(A)P(B), P(B\cap C)=P(B)P(C), P(A\cap C)=P(A)P(C)\) (\(A,B,C\) 三事件倆倆獨立)

亦無法保證 \(P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)\)

亦即無法保證會滿足三事件獨立在定義上的最後一個條件。

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獨立事件問題

所以例1和例2告訴我們只要樣本空間一換,依照定義A',B'就不獨立,我了解了。 謝謝您的回答

但是例2中,我感覺不出A'事件抽出一張號碼1,2,3,4的卡片的機率,會影響B'事件抽出一張號碼1,2,5,6的卡片的機率

還是一切只能照定義? 而不能用A事件的發生的機率不影響B事件發生的機率這個角度去看。

[ 本帖最後由 學偉 於 2013-7-18 03:12 PM 編輯 ]

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對於兩非空事件,你就看 \(P(A|B)\) 是否有等於 \(P(A)\)

(或是 \(P(B|A)\) 是否有等於 \(P(B)\))

如果有的話,可以推得 \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)

也因此,才會定義 \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) 稱作 \(A\) 與 \(B\) 兩事件獨立。

在例 2 中, \(P(A')=\frac{4}{6}\)  但 \(P(A'|B')=\frac{2}{4}\) ,兩者並不相等,

因此若 \(B'\) 發生與否,的確是會影響 \(A'\) 發生的機率,兩者不是獨立的事件。

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