limnni=0(Cin)3n+1i=0(Cin+1)3=8

先做個的奇怪的方法

令 pni=2nCin (p.m.f.)，則原式 =2n2n+13p3nip3n+1i=8p3nip3n+1i 

由中央極限定理有 pni=P(n2Bn−n(n2i−1−nn2i+1−n))f(n2i−n)2n ，其中 BnBinom(n21), f(x)=12e−2x2 。

而 p3nip3n+1i4nf(n2i−n)32n4n+1f(n+12i−n+1)32n+1nn+1f3dxf3dx1。

故推測答案為 8。(中間很多的近似都不嚴謹)

換個方法，式子比較長，如有錯誤，煩請告知

令 Sn=ni=0Cin3n+1i=0Cin+13。

注意 Ci+1n+1=i+1n+1Cin  或者寫成 Cin=i+1n+1Ci+1n+1 。

接著，我們利用這個組合恆等式，來做分子分母的互換，並進行估計。

1. 若 ab0a+b=n−1，則有 2(a+1)3+(b+1)32a+b+13=(2n+1)3  (凸函數不等式) 和 Ca+1n+1=Cb+1n+1。

可推得 a+1n+1Ca+1n+13+n+1b+1Cb+1n+1381Ca+1n+13+Cb+1n+13 。

把這個估計，搭配剛才的組合恆等式去估計算分母，做的時候，要注意頭尾配對，落單的首尾項(分子分母) 再額外拿出來

故得 Sn=1+ni=1Cin3+1n−1i=0i+1n+1Ci+1n+13+11+ni=1Cin3+181n−1i=0Ci+1n+13+18。

接著再仿照剛才估計分母的手法，對分子進行估計

2. 若 ab0a+b=n，則有 21(a+1)3+1(b+1)312n+13  和 Can=Cbn。

可推得 a+1n+1Can3+b+1n+1Cbn38(n+2n+1)3Can3+Cbn3 。

故得 Sn=ni=0Cin31+ni=0i+1n+1Cin3ni=0Cin31+8(n+2n+1)3ni=0Cin38。

以上細節的部分和 1. 是相同的。

綜合1.2，由夾擠定理得 limnni=0Cin3n+1i=0Cin3=8。