\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{\displaystyle \sum_{i=0}^{n+1}(C_i^{n+1})^3}{\displaystyle \sum_{i=0}^n (C_i^n)^3}=8\)

先做個的奇怪的方法

令 \( p_{n,i}=\frac{C_{i}^{n}}{2^{n}} \) (p.m.f.)，則原式 \( =\left(\frac{2^{n+1}}{2^{n}}\right)^{3}\cdot\frac{\sum p_{n+1,i}^{3}}{\sum p_{n,i}^{3}}=8\cdot\frac{\sum p_{n+1,i}^{3}}{\sum p_{n,i}^{3}} \)

由中央極限定理有 \( p_{n,i}=P(\frac{2B_{n}-n}{\sqrt{n}}\in(\frac{2i-1-n}{\sqrt{n}},\frac{2i+1-n}{\sqrt{n}}))\approx f(\frac{2i-n}{\sqrt{n}})\cdot\frac{2}{\sqrt{n}} \)，其中 \( B_{n}\sim Binom(n,\frac{1}{2}) \), \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}} \)。

而 \(\displaystyle \frac{\sum p_{n+1,i}^{3}}{\sum p_{n,i}^{3}}\approx\frac{\frac{4}{n}\sum f(\frac{2i-n}{\sqrt{n}})^{3}\cdot\frac{2}{\sqrt{n}}}{\frac{4}{n+1}\sum f(\frac{2i-n+1}{\sqrt{n+1}})^{3}\cdot\frac{2}{\sqrt{n+1}}}\approx\frac{n+1}{n}\frac{\int f^{3}dx}{\int f^{3}dx}\approx1 \)。

故推測答案為 \( 8 \)。(中間很多的近似都不嚴謹)

換個方法，式子比較長，如有錯誤，煩請告知

令 \( S_{n}=\frac{\sum\limits _{i=0}^{n+1}\left(C_{i}^{n+1}\right)^{3}}{\sum\limits _{i=0}^{n}\left(C_{i}^{n}\right)^{3}} \)。

注意 \( C_{i+1}^{n+1}=\frac{n+1}{i+1}C_{i}^{n} \)  或者寫成 \( C_{i}^{n}=\frac{i+1}{n+1}C_{i+1}^{n+1} \) 。

接著，我們利用這個組合恆等式，來做分子分母的互換，並進行估計。

1. 若 \( a,b\geq0, a+b=n-1 \)，則有 \( \frac{(a+1)^{3}+(b+1)^{3}}{2}\geq\left(\frac{a+b}{2}+1\right)^{3}=(\frac{n+1}{2})^{3} \) (凸函數不等式) 和 \( C_{a+1}^{n+1}=C_{b+1}^{n+1} \)。

可推得 \( \left(\frac{a+1}{n+1}C_{a+1}^{n+1}\right)^{3}+\left(\frac{b+1}{n+1}C_{b+1}^{n+1}\right)^{3}\geq\frac{1}{8}\left[\left(C_{a+1}^{n+1}\right)^{3}+\left(C_{b+1}^{n+1}\right)^{3}\right] \)。

把這個估計，搭配剛才的組合恆等式去估計算分母，做的時候，要注意頭尾配對，落單的首尾項(分子分母) 再額外拿出來

故得 \( \displaystyle S_{n}=\frac{1+\sum\limits _{i=1}^{n}\left(C_{i}^{n}\right)^{3}+1}{\sum\limits _{i=0}^{n-1}\left(\frac{i+1}{n+1}C_{i+1}^{n+1}\right)^{3}+1}
\leq\frac{1+\sum\limits _{i=1}^{n}\left(C_{i}^{n}\right)^{3}+1}{\frac18\sum\limits _{i=0}^{n-1}\left(C_{i+1}^{n+1}\right)^{3}+1}\to8 \)。

接著再仿照剛才估計分母的手法，對分子進行估計

2. 若 \( a,b\geq0 , a+b=n \)，則有 \( \frac{\frac{1}{(a+1)^{3}}+\frac{1}{(b+1)^{3}}}{2}\geq\left(\frac{1}{\frac{n}{2}+1}\right)^{3} \) 和 \( C_{a}^{n}=C_{b}^{n} \)。

可推得 \( \left(\frac{n+1}{a+1}C_{a}^{n}\right)^{3}+\left(\frac{n+1}{b+1}C_{b}^{n}\right)^{3}\geq8\cdot(\frac{n+1}{n+2})^{3}\left[\left(C_{a}^{n}\right)^{3}+\left(C_{b}^{n}\right)^{3}\right] \)。

故得 \( \displaystyle S_{n}=\frac{1+\sum\limits _{i=0}^{n}\left(\frac{n+1}{i+1}C_{i}^{n}\right)^{3}}{\sum\limits _{i=0}^{n}\left(C_{i}^{n}\right)^{3}}\geq\frac{1+8(\frac{n+1}{n+2})^{3}\sum\limits _{i=0}^{n}\left(C_{i}^{n}\right)^{3}}{\sum\limits _{i=0}^{n}\left(C_{i}^{n}\right)^{3}}\to8 \)。

以上細節的部分和 1. 是相同的。

綜合1.2，由夾擠定理得 \( \lim\limits _{n\to\infty}\frac{\sum\limits _{i=0}^{n+1}\left(C_{i}^{n}\right)^{3}}{\sum\limits _{i=0}^{n}\left(C_{i}^{n}\right)^{3}}=8 \)。