題目： \(f(x)\) 為 \(n\) 次整係數非負整係數多項式，滿足 \(f(1)=6\)，\(f(7)=3438\)，求 \(f(2)\)

解答：

令 \(f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0\)

因 \(f(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1+a_0=6\) 且 \(a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0\) 皆為非負整數，

可知 \(a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n\in\left\{0,1,2,3,4,5,6\right\}\)

因為 \(f(7)=a_n\cdot7^n+a_{n-1}\cdot7^{n-1}+\cdots a_1\cdot7+a_0=3438\)
　　（應該看到了～～～七進位表示法～）

可得

\(3438\div 7 = 491\cdots 1\Rightarrow a_0=1\)
\(491\div7=70\cdots1\Rightarrow a_1=1\)
\(70\div7=10\cdots0\Rightarrow a_2=0\)
\(10\div7=1\cdots3\Rightarrow a_3=3, a_4=1\)

故，\(f(x)=x^4+3x^3+x+1\Rightarrow f(2)=43\)

令 \( f(x) = a_4x^4 + a_3x^3 + a_2 x^2 +a_1x+a_0 \)

由 \( f(1) =39 \) 得 \( a_0 +a_1+a_2+a_3+a_4 = 39 \)

從同餘 \( f(7) \equiv a_0 \) (mod 7) 可得 \( a_0 = 6 + 7n_0 \)

再考慮 mod \( 7^n \) 可得

\( a_{1}=5-n_{0}+7n_{1} \)

\( a_{2}=4-n_{1}+7n_{2} \)

\( a_{3}=0-n_{2}+7n_{3} \)

\( a_{4}=6-n_{3} \)

\( 21+6(n_{0}+n_{1}+n_{2}+n_{3})=39\Rightarrow n_{0}+n_{1}+n_{2}+n_{3}=3 \)