注意 \( \int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx \) 此瑕積分收斂，記作 \( I=\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\int_{0}^{\infty}e^{-y^{2}}dy \)。
\( I^{2}=I\cdot\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}\cdot Idx=\int_{0}^{\infty}\left[e^{-x^{2}}\cdot\int_{0}^{\infty}e^{-y^{2}}dy\right]dx \)
而對任意實數 \( x
, e^{-x^{2}}\cdot\int_{0}^{\infty}e^{-y^{2}}dy=\cdot\int e^{-x^{2}}\cdot e^{-y^{2}}dy=\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}-y^{2}}dy \)。
故 \( I^{2}=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}-y^{2}}dydx \)，作極作標代換 \( x=r\cos\theta, y=r\sin\theta \)，
則 \( I^{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\infty}e^{-r^{2}}rdrd\theta=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{-e^{-r^{2}}}{2}\bigg|_{0}^{\infty}=\frac{\pi}{4} \)。
(修正積分範圍，感謝原 Po 提醒)
顯然 \( I>0 \)，故 \( I=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \)。
[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-7-11 02:08 PM 編輯 ]
