7.
將桌上一長方形ABCD沿著對角線\( \overline{AC} \)摺起，使平面ABC與平面ACD互相垂直，已知\( \overline{AB}=\sqrt{7} \)，\( \overline{BC}=\sqrt{2} \)，則空間中\( \overline{BD} \)長為
(A)\( \displaystyle \frac{\sqrt{18}}{2} \)　(B)\( \displaystyle \frac{\sqrt{28}}{3} \)　(C)\( \displaystyle \frac{\sqrt{53}}{3} \)　(D)\( \displaystyle \frac{\sqrt{45}}{3} \)

將長方形ABCD沿著對角線\( \overline{AC} \)摺起，使平面ABC與平面ACD互相垂直，已知\( \overline{AB}=a \)，\( \overline{BC}=b \)，則以a，b表示\( \overline{BD} \)之長 =。
(94台中縣高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=567&page=1#pid1774)


計算4.
設邊長為a的正七邊形的對角線中，最長為x，最短為y，試證：\( \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a} \)。

若有一正k邊形，其頂點依序為A、B、C、D，且滿足\( \displaystyle \frac{1}{\overline{AB}}=\frac{1}{\overline{AC}}+\frac{1}{\overline{AD}} \)。問k為多少？
(1999TRML團體賽)

想先請教單選1.2.8
另外單選6我知道是圓..只是有個疑問.為什麼不能把絕對值直接拿掉加正負?
這樣算出來 Z = i or -i ...就變成兩條線了ㄟ?
感謝指教~

複數的絕對值的意義是什麼???

一語道破..感謝~

第二題
高斯符號\([x]\)，表示不大於\(x\)的最大整數值。試求\(\left[(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2012} \right]\)的個位數字(A)6　(B)7　(C)8　(D)9
[解答]
令 \( \alpha=(\sqrt3+\sqrt2)^2=5+2\sqrt6 , \beta=(\sqrt3-\sqrt2)^2=5-2\sqrt6 \)
那麼 \( \alpha^n+\beta^n \) 皆為整數；
又 \( 0 < \beta <1 \) ， 所以 \( 0 < \beta^{1006} < 1 \)
所求即為 \( \alpha^{1006}+\beta^{1006}-1 \) 的個位數字。

再令 \(\displaystyle a_n=\alpha^n+\beta^n \)
而 \( \alpha,\beta \) 為方程式 \( x^2-10x+1=0 \) 的兩根，
所以數列 \( a_n \) 會滿足 \(\displaystyle a_{n+2}=10a_{n+1}-a_n \)
計算知 \( a_0=2,a_1=10 \)
只看個位數字得到 0,8,0,2 的循環，
所以所求為 \( 8-1=7 \)

PS:第一題為學測題

第八題
已知\(\overline{AB}=5\)，\(\overline{AC}=6\)，\(\overline{BC}=7\)，四邊形\(ACGH\)與\(ABDE\)均為正方形，則\(\vec{CH}\cdot \vec{BE}=\)
(A)\(6\sqrt{6}\)　(B)\(12\sqrt{6}\)　(C)\(24\sqrt{6}\)　(D)\(36\sqrt{6}\)
[解答]
CH是CA轉45度，BE是BD轉45度，
所以CH和BE的夾角等於CA和BD的夾角，也就是CA和AE的夾角，
而角A是銳角，所以這個夾角為 \( 90^o-\angle{A} \)

\(\displaystyle \cos{A}=\frac{25+36-49}{60}=\frac{1}{5} \)

\(\displaystyle \vec{CH} \cdot \vec{BE}=5\sqrt2 \times 6\sqrt2 \times \cos(90^o-A) \)

\(\displaystyle =60 \times \frac{2\sqrt6}{5}=24\sqrt6 \)

敘述並證明：空間中三垂線定理。
[解答]
雖然很簡單~ 提供大家非一般用直角三角形的證法

引用:

原帖由 lyingheart 於 2013-5-25 09:28 PM 發表
第二題
令 \( \alpha=(\sqrt3+\sqrt2)^2=5+2\sqrt6 , \beta=(\sqrt3-\sqrt2)^2=5-2\sqrt6 \)
那麼 \( \alpha^n+\beta^n \) 皆為整數；  

PS:此題型可以證明出個位數皆為奇數,
不會算的人至少可以變成二選一
證明:
\((\sqrt3+\sqrt2)^{2012}+(\sqrt3-\sqrt2)^{2012}=2[C+C+.....+C]\)
\((\sqrt3+\sqrt2)^{2012}\)為奇數

設邊長為\(a\)的正七邊形的對角線中，最長為\(x\)，最短為\(y\)，試證：\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a}\)。
[解答]
不曉得沒證托勒密定理會不會被扣分