求(X+1)(2X+1)(3X+1)...(10X+1)之展開式中X^3項的係數?

某站友問的問題如下：

求(X+1)(2X+1)(3X+1)...(10X+1)之展開式中X^3項的係數?



解答：

易知 \(X^3\) 項的係數＝\(1\) 到 \(10\) 任選三相異數乘積之和

由 \(\displaystyle \left(1+2+\cdots+10\right)^3 = \left(1^3+2^3+\cdots+10^3\right)+\frac{3!}{2!}\sum_{1\leq i<j\leq10}\left(i^2j+j^2i\right)+3!\sum_{1\leq i<j<k\leq10} ijk\)

令 \(a = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10\)

　 \(b=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2+10^2\)

　 \(c=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3+10^3\)

　 \(\displaystyle p = \sum_{1\leq i<j<k\leq10} ijk\)

則 \(a^3=c+3\left(ab-c\right)+6p\)

可解得 \(p=18150\)