設 0＜＜π/2，求 9 tan^2θ+ 4 cot^2θ+ 12 tanθ+12 cotθ 的最小值

這題我是用這四項下去做算幾　

因為我想到

tan^2θ x cot^2θ x tanθ x cotθ = 1

(9 tan^2θ+ 4 cot^2θ+ 12tanθ+12 cotθ)/4≧

(9tan^2θ x 4 cot^2θ x 12tanθ x 12 cotθ)^ 1/4

但是詳解是拆成兩組去做兩個算幾

(9 tan^2θ + 6 cotθ + 6cotθ) / 3 +(4 cot^2θ+6tanθ+ 6tanθ) / 3≧

(9 tan^2θ x 6 cotθ x 6cotθ)^ 1/3 +(4 cot^2θ x 6tanθ x 6tanθ)^ 1/3

可以請問一下各位先進，為什麼我的方法是錯誤的？

你找出來的是下界，因為你還沒有檢查"等號"是否會成立。

找出來的「上界(or 下界)」不一定就會是「最大值(or 最小值)」，

還要檢查「等號是否有可能成立」才知道其值是否為最大(或最小)值。

尤其是連續串接好幾個不等式才找到上界(or 下界)時，更要檢查等號是否會同時成立。

ps. 這個觀念在平常教學生不等式的時候，也要常常叮嚀！

　　例：已知 \(x\) 為 "正整數"，易知 \(x\geq -100\)。

　　　 提問那是否表示 \(x\) 的"最小值"為 \(-100\)？

非常的感謝！！！茅塞頓開