請問 第 3 題

第 3 題：thepiano 老師在 #2 的回覆已解，

至於說明，只要考慮坐在最前面的第一個人，看他重新坐下之後，只有兩種入座的情況，就可以得到遞迴關係式。

引用:

原帖由 thepiano 於 2013-5-22 10:06 PM 發表
第 3 題
若 n 人坐 n 張椅子，重新坐下的方法數是\( a_n\)
小弟猜測一下\( a_n = a_{n-1}+a_{n-2}\)　(\(n \ge 3\))
其中\( a_1 = 1\)，\(a_2 = 2\)

第 4 題
\(f_n = (n - 1)[f_{n-1} + f_{n-2}]\)

想請問第4題的想法

我是用排容把\(f_n\)算出來
\(\displaystyle f_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k \cdot \frac{n!}{k!}\)

然後再把\(f_{n-1}\),\(f_{n-2}\) 列出來...

還是一樣的遞迴想法討論：

1 號 拿到某到人的帽子，假設是 2 號的好了，那就分成兩種情形：① 2 號也拿到 1 號的帽子 ② 2 號沒有拿到 1 號的帽子。

① 之情形，就是剩下 \( n-2 \) 的原問題，也就是 \( f_{n-2} \)

② 2 號沒有拿到 1 號的帽子，下的是問題是 2 號不拿 1 號帽，3 號不會拿 3 號帽.... n 號不能拿 n 號帽。
其實就是原來 n-1 個人的問題了(偷偷重新編號)，所以這種情形有 \( f_{n-1} \)

綜合兩情形，再考慮 1 號可拿其它帽子，就是 \( f_n = (n-1) ( f_{n-1} + f_{n-2}) \)

請教第二提該怎麼做?
感謝

第 2 題
\( A=\{\; w |\; w^{40}=1 \}\; \)，\( B=\{\; y |\; y^{42}=1 \}\; \)，\( C=\{\; z |\; z^{24}=1 \}\; \)
若\( D=\{\; wyz |\; w \in A,y \in B,z \in C \}\; \)，則\(D\)有幾個元素？
[解答]
忘記在哪邊好像看到兩個集合的版本了

將集合內的元素寫成 \( e^{i\theta} \) 之形式。考慮 \( \displaystyle D_{\theta}=\{n\cdot\frac{2\pi}{40}+m\cdot\frac{2\pi}{42}+p\cdot\frac{2\pi}{24}+q\cdot2\pi\mid n,m,p,q\in\mathbb{Z}\} \)

如果把裡面的數看作正整數的即 \( \{na+mb+pc+qd\mid n,m,p,q\in\mathbb{Z}\}=\{n\gcd(a,b,c,d)\mid n\in\mathbb{Z}\} \)，其中 \( a,b,c,d\in\mathbb{N} \)。

\( \displaystyle 840\cdot D_{\theta}=2\pi\cdot\{21n+20m+35p+840q\mid n,m,p\in\mathbb{Z}\}=2\pi\cdot\mathbb{Z}\Rightarrow D_{\theta}=\{\frac{2n\pi}{840}\mid n\in\mathbb{Z}\} \)，其中 \( a\cdot S:=\{as\mid s\in S\} \)。

故 \( |D|=840 \)。

請問第3題
寸絲整理的那本.給的答案是55
是不是給錯了?
謝謝.

印象中，是我給錯答案，差一項的樣子，抱歉

請問計算第1題詳解第四行中，
「則兩限制條件可轉為 ..A..and..B...」
第二個限制條件<1如何得到？
感謝。

實心橢球的所對應的不等式，就是橢圓拿去轉出來的