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球帽體積的另類算法?

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球帽體積的另類算法?

將一個球帽型容器裝滿水,其中球的半徑為2,
若球心到球帽上緣所在的平面距離為1,試求此容器的體積。答:9pi
(不會畫立體圖,「球帽」的意思是:完整的球,橫切一刀使截面為圓,並捨棄較小的那塊)
(希望看的懂意思@@)

我的作法:
用1/3的球體積(因為角度120度)扣掉圓錐體積,
(1/3)(4pi2^3/3) - (1/3)(3pi)=32pi/9 - pi = 23pi/9
答案不一樣,還是那部份不是1/3呢?
好難想像啊><"

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回復 1# 草薙京 的帖子

1. 該容器的體積應為 \( \int_{1}^{2}\pi(4-x^{2})dx=\frac{5}{3}\pi \) (這個球的體積也才不到 \( 10\pi \) 而已)

2. 如果要用角度這樣的想法,必須引進立體角。

一般的角度,是弧長 / 周長。立體則是表面積 / 球的表面積。

3. 如果要直接說 \( \frac13 \) 為什麼是錯的。可以想像平面上有一個圓,平分成三個圓心角為 \( 120^\circ \) 的扇形。

每個扇心對其圓心角的角平分線旋轉,就是您想像以為是 \( \frac13 \) 球體積的圖形。

但實際上,這個三個旋轉體,彼此不相交,而且被包含在該球裡。

平面上在三個扇形的兩兩交線處的上、下方,很明顯沒有被這三個旋轉體蓋住,也就是三個組起來是不到一個球。

立體圖不會畫,等樓下的高手來畫吧

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-15 07:18 PM 編輯 ]
文不成,武不就

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