填充 9. 一般常問的都是內心或重心

其實方法是一樣的，就是先把 \( \overrightarrow{AH} \) 向成 \( \overrightarrow{AB} \) 和 \( \overrightarrow{AC} \) 的線性組合 (利用內積和正射影的關聯)

再令 \( AB =\alpha AD\), \( AC = \beta AE \)，將 \( \overrightarrow{AH} \) 寫成 \( \overrightarrow{AD} \) 和 \( \overrightarrow{AE} \) 的線性組合

由三點共線的 (係數和為 1)，再配上算幾不等式，即可得之。

填 10.

不妨假設四個對角線所形成的向量為 \( (1,1,1) \), \( (1,1,-1) \), \( (1,-1,1) \), \( (-1,1,1) \)，及 \( | \vec{v} | = 1 \)

則 \( \cos^2 \) 夾角之值分別為 \( \frac{(x+y+z)^2}{3}, \frac{(x+y-z)^2}{3}, \frac{(x-y+z)^2}{3}, \frac{(-x+y+z)^2}{3} \), ..

展開相加可得 \( \frac{(x+y+z)^{2}+(x+y-z)^{2}+(x-y+z)^{2}+(-x+y+z)^{2}}{3} = \frac{4}{3} \)

另外，如果是考試的填充題，乾脆偷吃步假設 \( \vec{v} = (1,0,0) \)，即可得此定值

計算 2. 考驗極限的功力
\( A_{n}=\frac{1}{n}\sum\limits _{k=1}^{n}\sqrt{2k}=\sqrt{2n}\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{1}{n}\sqrt{\frac{k}{n}}\Rightarrow\frac{A_{n}}{\sqrt{2n}}\to\int_{0}^{1}\sqrt{x}dx=\frac{2}{3} \)。

\( \sigma_{n}=\sqrt{\frac{1}{n}\left(\sum\limits _{k=1}^{n}2k-nA_{n}^{2}\right)}=\sqrt{\frac{1}{n}\cdot\left(n(n+1)-nA_{n}^{2}\right)}=\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{1}{n}-\frac{A_{n}^{2}}{n}} \)

由 \( \frac{A_{n}}{\sqrt{2n}} \to \frac{2}{3} \Rightarrow\frac{A_{n}^{2}}{n}\to\frac{8}{9} \)

所以 \( \frac{\sigma_{n}}{\sqrt{n}}\to\frac{1}{3} \)。

所求 \( \lim\limits _{n\to\infty}\frac{\sigma_{n}}{A_{n}}=\lim\limits _{n\to\infty}\frac{\sigma_{n}}{\sqrt{n}}\cdot\lim\limits _{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{A_{n}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4} \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-4 09:26 PM 編輯 ]

謝謝

填充 5. 9# bugmens 大已解

但敝人還是獻醜，來個劣解：

其圖形為第一卦限和兩平所圍出的區域，若固定某個 \( (x,y) \)，為該區域某一線段，起終點為 \( (x,y,0) \) 和 \( (x,y,z) \)，其中 \( z=\min\{9-2x-2y,\frac{9-x-2y}{2}\} \)。而體積為 \( \int\int\limits _{x,y,z\geq0}zdxdy \)

而積分區域可寫為 \( \{(x,y)\mid x,y,z\geq0\}=\{(x,y)\mid x\geq0,y\geq0,2x+2y\leq9\} \)

對 \( z \) 改寫成分段形式 \( z=\begin{cases}
9-2x-2y & \mbox{, if }3x+2y>9\\
\frac{9-x-2y}{2} & \mbox{, if }3x+2y\leq9
\end{cases} \)，故積分範圍亦一分為二如下：

\( \int\int\limits _{x,y,z\geq0}zdxdy=\int_{0}^{\frac{9}{2}}\int_{0}^{\frac{9-2y}{3}}\frac{9-x-2y}{2}dxdy+\int_{0}^{\frac{9}{2}}\int_{\frac{9-2y}{3}}^{\frac{9-2y}{2}}(9-2x-2y)dxdy=\frac{81}{4} \)

填充 7. 不好做的一題，以下動用了三角代換和微積分，是否有其它漂亮的作法，就有待其它高手了

設 \( L \) 和 \( x \) 軸的銳夾角為 \( \theta \)，則 \( \overline{OA}+\overline{OB}+\overline{AB}=(1+\tan\theta+\sec\theta)+2\cdot(1+\cot\theta+\csc\theta) \)。

令 \( \phi=\frac{\theta}{2} \)，\( \tan\phi=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=(\cot\theta+\csc\theta)^{-1} \), \( \tan(\frac{\pi}{4}-\phi)=\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}=(\tan\theta+\sec\theta)^{-1} \)。

故 \( (1+\tan\theta+\sec\theta)+2\cdot(1+\cot\theta+\csc\theta)=3+\tan(\frac{\pi}{4}+\phi)+2\tan(\frac{\pi}{2}-\phi) \)

解其微分為 0：\( \sec^{2}(\frac{\pi}{4}+\phi)-2\sec^{2}(\frac{\pi}{2}-\phi)=0\Rightarrow\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}+\phi)=\cos(\frac{\pi}{2}-\phi) \)
(其中 \( 0<\theta<\frac{\pi}{2}\Rightarrow0<\phi<\frac{\pi}{4} \Rightarrow \) 此二餘弦皆正)

上式可化簡為 \( \cos\phi-\sin\phi=\sin\phi\Rightarrow\tan\phi=\frac{1}{2} \)。

又 \( \sec^{2}(\frac{\pi}{4}+\phi)-2\sec^{2}(\frac{\pi}{2}-\phi)\nearrow \) in \( (0,\frac{\pi}{4}) \)，故此 \( \phi=\tan^{-1}\frac{1}{2} \) 為最小值發生之處。

\( \tan(\frac{\pi}{4}+\phi)=\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=3, \tan(\frac{\pi}{2}-\phi)=(\tan\phi)^{-1}=2 \)，故最小值 \( =3+3+4=10 \)。

計算2
參考寸絲大的作法，再將兩個極限作一次寫

填充第7題不知道是否有較簡單的解法

可以參考 thepiano 大在美夢成真的解法

http://www.shiner.idv.tw/teachers/...

作法大致相同，但他用的參數是 \( t = \tan \frac{\theta}{2} \)，更為簡捷漂亮。

我覺得可能忘了加負號，
若a5=-1時，則不論 a4,.....,a0 怎麼選，結果都合，所以共有 3^5 種。

填7 (待定係數法)
ps. 我的同事 任爸 提供的解法

設A(a,0),B(0,b), a,b為正實數,
直線AB 截距式 為  \( \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \)
代入(2,1) 得
#1#  \( \frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1 \)   

所求為 a+b+ \( \sqrt{a^2+b^2} \)
欲將 \( \sqrt{a^2+b^2} \) 以 不等式 去掉 礙眼的 根號

故 自令 一組 待定係數 正實數 p,q ,滿足
#2# \( p^2+q^2=1 \)

柯西
\( \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{p^2+q^2} \ge a p +b q \)
即 \( \sqrt{a^2+b^2} \ge a p +b q \)
等號成立於
#3# \( \frac{a}{p}=\frac{b}{q} \)  

故所求
a+b+ \( \sqrt{a^2+b^2}  \)
\( \ge a+b+ a p+b q = (1+p)a+(1+q)b  \)
\( = [(1+p)a+(1+q)b] \cdot (\frac{2}{a}+\frac{1}{b} )  \)
\( \ge ( \sqrt{2(1+p)} + \sqrt{1+q} )^2    \)  ps. 至此為與 a, b 無關之常數(亦即 只要p與q定得出來,這就是最小值)
上行的等號成立於
\( \frac{(1+p)a}{\frac{2}{a}}=\frac{(1+q)b}{\frac{1}{b}}  \) 即
#4# \( (1+p)a^2= 2 (1+q)b^2  \)

將 #3# 平方得  
#5# \( \frac{a^2}{p^2}=\frac{b^2}{q^2} \)  

將 #4# 除以 #5# 得
#6#  \( p^2(1+p)=2 q^2(1+q)    \)

將 #2#  代入 #6#  得
\( (1-q^2)(1+p)=2 (1-p^2)(1+q)    \)
約分得 2p-q=1
將上式 代入 #2# \( p^2+q^2=1 \)
所待定的係數已定出  \( p=\frac{4}{5} , q=\frac{3}{5}  \)
此時 \( a=\frac{10}{3} , b=\frac{5}{2}  \)

為了將過程盡量解釋清楚,
所以篇幅很長,請見諒.
結束前,整理一遍
OA+OB+AB
\(= a+b+  \sqrt{a^2+b^2}  \)
\(= a+b+  \sqrt{a^2+b^2} \cdot (p^2+q^2) \)
\( \ge a+b+ a p+b q = (1+p)a+(1+q)b  = [(1+p)a+(1+q)b] \cdot (\frac{2}{a}+\frac{1}{b} )  \)
\( \ge ( \sqrt{2(1+p)} + \sqrt{1+q} )^2 \)
= 10 為 最小值

---------- 正經文 結束 以下是惡搞 ----------

這時 如果要唬人
可以寫成
OA+OB+AB
\( = a+b+  \sqrt{a^2+b^2}  \)
\( = a+b+  \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{(\frac{4}{5})^2+(\frac{3}{5})^2} \)
\( \ge a+b+ ( \frac{4}{5} a +\frac{3}{5} b ) = \frac{9}{5} a+ \frac{8}{5} b  \)
\( = [\frac{9}{5} a+ \frac{8}{5} b] \cdot (\frac{2}{a}+\frac{1}{b} )  \)
\( \ge ( \sqrt{\frac{18}{5}} + \sqrt{\frac{8}{5}} )^2 \)
= 10 得 最小值

[ 本帖最後由 cplee8tcfsh 於 2013-5-14 06:10 PM 編輯 ]