填充 9. 一般常問的都是內心或重心

其實方法是一樣的，就是先把 −−AH 向成 −AB 和 −AC 的線性組合 (利用內積和正射影的關聯)

再令 AB=AD, AC=AE，將 −−AH 寫成 −−AD 和 −AE 的線性組合

由三點共線的 (係數和為 1)，再配上算幾不等式，即可得之。

填 10.

不妨假設四個對角線所形成的向量為 (111), (11−1), (1−11), (−111)，及 v=1

則 cos2 夾角之值分別為 3(x+y+z)23(x+y−z)23(x−y+z)23(−x+y+z)2, ..

展開相加可得 3(x+y+z)2+(x+y−z)2+(x−y+z)2+(−x+y+z)2=34

另外，如果是考試的填充題，乾脆偷吃步假設 v=(100)，即可得此定值

計算 2. 考驗極限的功力
An=1nnk=12k=2nnk=11nknAn2n01xdx=32 。

n=1nnk=12k−nA2n=1nn(n+1)−nA2n=n1+1n−nA2n 

由 An2n32nA2n98 

所以 nn31 。

所求 limnnAn=limnnnlimnAnn=31322=42 。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-4 09:26 PM 編輯 ]

謝謝

填充 5. 9# bugmens 大已解

但敝人還是獻醜，來個劣解：

其圖形為第一卦限和兩平所圍出的區域，若固定某個 (xy)，為該區域某一線段，起終點為 (xy0) 和 (xyz)，其中 z=min9−2x−2y29−x−2y。而體積為 xyz0zdxdy

而積分區域可寫為 (xy)xyz0=(xy)x0y02x+2y9

對 z 改寫成分段形式 z=9−2x−2y29−x−2y, if 3x+2y9, if 3x+2y9 ，故積分範圍亦一分為二如下：

xyz0zdxdy=029039−2y29−x−2ydxdy+02939−2y29−2y(9−2x−2y)dxdy=481

填充 7. 不好做的一題，以下動用了三角代換和微積分，是否有其它漂亮的作法，就有待其它高手了

設 L 和 x 軸的銳夾角為 \theta ，則 \overline{OA}+\overline{OB}+\overline{AB}=(1+\tan\theta+\sec\theta)+2\cdot(1+\cot\theta+\csc\theta) 。

令 \phi=\frac{\theta}{2} ， \tan\phi=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=(\cot\theta+\csc\theta)^{-1} , \tan(\frac{\pi}{4}-\phi)=\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}=(\tan\theta+\sec\theta)^{-1} 。

故 (1+\tan\theta+\sec\theta)+2\cdot(1+\cot\theta+\csc\theta)=3+\tan(\frac{\pi}{4}+\phi)+2\tan(\frac{\pi}{2}-\phi)

解其微分為 0： \sec^{2}(\frac{\pi}{4}+\phi)-2\sec^{2}(\frac{\pi}{2}-\phi)=0\Rightarrow\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}+\phi)=\cos(\frac{\pi}{2}-\phi)
(其中 0<\theta<\frac{\pi}{2}\Rightarrow0<\phi<\frac{\pi}{4} \Rightarrow 此二餘弦皆正)

上式可化簡為 \cos\phi-\sin\phi=\sin\phi\Rightarrow\tan\phi=\frac{1}{2} 。

又 \sec^{2}(\frac{\pi}{4}+\phi)-2\sec^{2}(\frac{\pi}{2}-\phi)\nearrow in (0,\frac{\pi}{4}) ，故此 \phi=\tan^{-1}\frac{1}{2} 為最小值發生之處。

\tan(\frac{\pi}{4}+\phi)=\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=3, \tan(\frac{\pi}{2}-\phi)=(\tan\phi)^{-1}=2 ，故最小值 =3+3+4=10 。

計算2
參考寸絲大的作法，再將兩個極限作一次寫

填充第7題不知道是否有較簡單的解法

可以參考 thepiano 大在美夢成真的解法

http://www.shiner.idv.tw/teachers/...

作法大致相同，但他用的參數是 t = \tan \frac{\theta}{2} ，更為簡捷漂亮。

我覺得可能忘了加負號，
若a5=-1時，則不論 a4,.....,a0 怎麼選，結果都合，所以共有 3^5 種。

填7 (待定係數法)
ps. 我的同事 任爸 提供的解法

設A(a,0),B(0,b), a,b為正實數,
直線AB 截距式 為   \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
代入(2,1) 得
#1#   \frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1    

所求為 a+b+ \sqrt{a^2+b^2}
欲將 \sqrt{a^2+b^2} 以 不等式 去掉 礙眼的 根號

故 自令 一組 待定係數 正實數 p,q ,滿足
#2# p^2+q^2=1

柯西
\sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{p^2+q^2} \ge a p +b q
即 \sqrt{a^2+b^2} \ge a p +b q
等號成立於
#3# \frac{a}{p}=\frac{b}{q}   

故所求
a+b+ \sqrt{a^2+b^2}  
\ge a+b+ a p+b q = (1+p)a+(1+q)b  
= [(1+p)a+(1+q)b] \cdot (\frac{2}{a}+\frac{1}{b} )  
\ge ( \sqrt{2(1+p)} + \sqrt{1+q} )^2      ps. 至此為與 a, b 無關之常數(亦即 只要p與q定得出來,這就是最小值)
上行的等號成立於
\frac{(1+p)a}{\frac{2}{a}}=\frac{(1+q)b}{\frac{1}{b}}   即
#4# (1+p)a^2= 2 (1+q)b^2  

將 #3# 平方得  
#5# \frac{a^2}{p^2}=\frac{b^2}{q^2}   

將 #4# 除以 #5# 得
#6#   p^2(1+p)=2 q^2(1+q)   

將 #2#  代入 #6#  得
(1-q^2)(1+p)=2 (1-p^2)(1+q)   
約分得 2p-q=1
將上式 代入 #2# p^2+q^2=1
所待定的係數已定出   p=\frac{4}{5} , q=\frac{3}{5}  
此時 a=\frac{10}{3} , b=\frac{5}{2}  

為了將過程盡量解釋清楚,
所以篇幅很長,請見諒.
結束前,整理一遍
OA+OB+AB
= a+b+  \sqrt{a^2+b^2}  
= a+b+  \sqrt{a^2+b^2} \cdot (p^2+q^2)
\ge a+b+ a p+b q = (1+p)a+(1+q)b  = [(1+p)a+(1+q)b] \cdot (\frac{2}{a}+\frac{1}{b} )  
\ge ( \sqrt{2(1+p)} + \sqrt{1+q} )^2
= 10 為 最小值

---------- 正經文 結束 以下是惡搞 ----------

這時 如果要唬人
可以寫成
OA+OB+AB
= a+b+  \sqrt{a^2+b^2}  
= a+b+  \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{(\frac{4}{5})^2+(\frac{3}{5})^2}
\ge a+b+ ( \frac{4}{5} a +\frac{3}{5} b ) = \frac{9}{5} a+ \frac{8}{5} b  
= [\frac{9}{5} a+ \frac{8}{5} b] \cdot (\frac{2}{a}+\frac{1}{b} )  
\ge ( \sqrt{\frac{18}{5}} + \sqrt{\frac{8}{5}} )^2
= 10 得 最小值

[ 本帖最後由 cplee8tcfsh 於 2013-5-14 06:10 PM 編輯 ]