北一女102學年度第1次教師甄選數學科筆試測驗題試題暨答案

只有公布填充題部份的 6 題

----------以下部分計算題內容由 kpan 網友提供------------

3. 銳角三角形ABC,sin(A+B)=3/5,sin(A-B)=1/5, AB=3 , 求三角形面積？

4. 令A(x,0)和B(0,y)分別為x軸和y軸上移動,且AB=1,以AB的長度做一正方形ABCD,令P為CD上的中點,求P的軌跡方程式以及圖形為何？

5. 有5個相同的黑棋 和 5個相同的白棋,排成一列 ,若 連續出現三顆依序為"黑白黑"的機率為 ？

可以請教填充第六題嗎？謝謝

令 \( P(x) = (x-\alpha)(x-\beta) \)，由 \( P(x^2+4x-7) = 0 \) 有一根為 1 可得 \( \alpha = -2 \) 或 \( \beta =-2 \)

不失一般性，令 \( \alpha = -2 \)

又 \( P(x^{2}+4x-7)=(x^{2}+4x-7+2)(x^{2}+4x-7-\beta)=(x+5)(x-1)(x^{2}+4x-7-\beta) \) 有重根

因此此重根為 1 或 -5， 或者 \( x^{2}+4x-7-\beta=0 \)   有重根

因此得 \( \beta =-2 \) 或 \( -11 \)

故 \( P(5)=(5+2)^{2}=49 \)  或 \( (5+2)(5+11)=112 \)

我的解法有用到微分

令 \(\displaystyle f(x)=P(x^2+4x-7)=(x^2+4x-7)^2+b(x^2+4x-7)+c\)
則有 \(\displaystyle f(1)=0\)，即 \(\displaystyle 4-2b+c=0\)

另外因為至少有一重根，所以在 \(\displaystyle f'(x)=0\) 的實數解之中，至少有一個滿足 \(\displaystyle f(x)=0\)
於是由 \(\displaystyle f'(x)=2(x^2+4x-7)(2x+4)+b(2x+4)=(2x+4)(2x^2+8x-14+b)\) 知道
\(\displaystyle f(-2)\), \(\displaystyle f(x_1)\), \(\displaystyle f(x_2)\) 至少一個為零，
其中 \(\displaystyle x_1,x_2\) 為 \(\displaystyle 2x^2+8x-14+b=0\) 的兩根。

\(\displaystyle f(-2)=0\) 時，得到 \(\displaystyle 11^2-11b+c=0,b=13,c=22,P(5)=112\)
\(\displaystyle f(x_1)=0\) 時，因為 \(\displaystyle 2x^2_1+8x_1-14=-b\)，得到 \(\displaystyle (-\frac{b}{2})^2+b\frac{-b}{2}+c=0\),
\(\displaystyle c=\frac{b^2}{4}, b=4, c=4, P(5)=49\)

[ 本帖最後由 Joy091 於 2013-4-13 12:28 PM 編輯 ]

謝謝，我懂了，感謝^_^

兩種方法都很好，受教了，感謝^_^

想請教第3题，我個人是用慢慢推的方式
可是我覺得很慢，很難找
我覺得應該有個比較有系統的方式
請大家給小弟一點方向，感謝先^.^

第3題

以下的記號是 \( a = a_1 \), \( n = k \)

\( \frac{a+a+(n-1)}{2}\cdot n=2000\Rightarrow(2a+n-1)\cdot n=4000\)

\( \Rightarrow n\mid4000 \) 又 \( 2a=\frac{4000-(n^{2}-n)}{n}>0\Rightarrow n\leq63 \) 。

而 \( 4000=2^{5}\cdot5^{3} \) ，由 \( n\mid4000 \) 及 \( 2\leq n\leq63 \)，得 \( n \)  之可能有 \( 2,4,8,16,32,5,10,20,40,25,50 \) 。

但 \( 2a \)  為偶數可得 \( 2 , 4 , 8 , 16, 10 , 20 , 40, 50 \)  不合。 (這些 \( n \)  使得 \( \frac{4000}{n}-n+1= \) 偶- 偶+1= 奇)

故 \( (n,a)=(32,47) , (5,398) , (25,68) \) 。

請問一下第4題我的想法是p(1,5,7)到平面E的最短距離,E事由向量b及向量c所展的平面.但我的答案算出來是 1/根號3 ?是我的想法錯了嗎?

第4題，方法是對的，應該只是計算錯誤而已

\( \vec{b} \times \vec{c} = (-1,2,-1) \)，故平面 E 之方程式為 \( x-2y+z=0 \)

點 \( P(1,5,7) \) 到平面之距離為 \( \frac{|1-10+7|}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \)