想請問今年學測多選第11題 應如何解釋 ?謝謝各位老師

我的想法為：正方形四頂點到中心等距離

設橢圓的方程式為 \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \) \( a>b \)，橢圓的點以參數式表示 \( P(a\cos \theta,b\sin \theta) \)

計算其與焦點 \( F_1(c,0) \)  的距離可得 \( a- c \cos \theta \)

其在 \( 0 \leq \theta \leq \pi \) 中，為遞增函數，因此上半橢圓至少一點為正方形之頂點，下半橢圓亦然

因此至多兩個頂點在楕圓上，上下對稱(正方形擺正)可以剛好兩個，轉 \( 90^\circ \) 讓長軸的端點為正方形的頂點時則為 1 個

正方形很大或很小的話，可以造出 0 個，故答案為 125 (0,1, 或 2個)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-1-29 11:49 PM 編輯 ]

多選第11題：

取先取個例子：\(\displaystyle \Gamma: \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)，\(\displaystyle a=5, b=4, c=3\Rightarrow a-c=2, \frac{b^2}{a}=3.2\)

選項一：取正方形兩對角線分別平行 \(x,y\) 軸，且一半的對角線長為 \(2\)。

選項二：取正方形兩對角線分別平行 \(x,y\) 軸，且一半的對角線長為 \(3.2\)。

選項三、四：因為橢圓上至多兩點（此兩點對稱長軸）到 \(F_1\) 的距離會相同，

　　　　　　所以不可能有三個以上的點到 \(F_1\) 的距離相同。

　　　　　　（設 \(P\) 為 \(\Gamma\) 上的定點，而 \(Q\) 為 \(\Gamma\) 上異於 \(P\) 且滿足 \(\overline{PF_1}=\overline{QF_1}\)　的動點，

　　　　　　　則 \(\overline{PF_2}=2a-\overline{PF_1}=2a-\overline{QF_1}=\overline{QF_2}\)

　　　　　　　且因為 \(\overline{F_1F_2}=\overline{F_1F_2}\)，所以 \(\triangle PF_1F_2\) 全等於 \(\triangle QF_1F_2\)

　　　　　　　由圖形，可知恰只有一點 \(Q\) （\(P,Q\) 對稱於長軸）滿足上述全等條件～三角形三內角角度唯一確定（\(F_1, F_2\) 不可交換位置喔！）～）

選項五：取正方形兩對角線分別平行 \(x,y\) 軸，且一半的對角線長為 \(1\)。

感謝兩位老師解答
寸絲老師 橢圓的參數式在99正綱已經改到高三自然組了 不適合對高三社會組說明
瑋岳老師 您的PF1=QF1 P Q是在正方形的頂點嗎
另外 可以請教各位老師 這題主要考學生的目的何在 開學後不知該如何對學生說明

\(P,Q\) 是在說明～橢圓上至多兩點到 \(F_1\) 的距離會相同。

你要把它當頂點也可以，如果有 \(R\) 也滿足 \(\overline{RF_1}=\overline{PF_1}=\overline{QF_1}\)，

則 \(R\) 必定是 \(P\) 或 \(Q\) 的其中一點。

102學測數學多選10詳解，如附件檔案，請大家指教

以橢圓一焦點F1為圓心做一圓，

  此圓跟橢圓的交點個數只有三種可能：0，1，2

   不可能3個、4個交點

    故可以推測以焦點F1為中心的正方形和橢圓交點個數只有三種可能

    0，1，2

請方家指正益進
謝謝

連高中補習班的俞老師都加入這個大家庭，相信這個討論區內容一定會越來越豐富!!

想請教20,27,30題  謝謝