p,q皆為質數
q^3=p^2-p+1,求數對(p,q)
多謝

101.1.26版主補充
補上題目連結http://www.tcfsh.tc.edu.tw/web/adm/exam/sci/exam.htm

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-1-26 06:44 AM 編輯 ]

引用:

原帖由 kuen 於 2013-1-25 08:35 AM 發表
p,q皆為質數
q^3=p^2-p+1,求數對(p,q)
多謝

這題之前有人在網路上問過
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1012041002403
不曉得還有沒有更快的方法?

(1)
q<p
pf:  若 \( q \geq p \) 則 左減右= \( q^3-p^2+p-1 \geq p^3 -p^2+p-1 =(p-1)(p^2+1) \neq 0 \)

(2)
因式分解 得 \(  p(p-1) =(q-1)(q^2+q+1) \)
知 質數 \( p 整除 (q-1)(q^2+q+1) \) 且 p 不整除 (q-1) ,故 p 整除 \( (q^2+q+1) \)
令 \( q^2+q+1=k p \) ,其中 k 為正整數 ,得 (p-1)=k(q-1)
上行二式消p
得 \( \LARGE q^2+q+1= k^2 (q-1)+k \)
左右同除以 (q-1)
\( \frac{q^2+q+1}{q-1}= (q+2)+ \frac{3}{q-1} = k^2 + \frac{k}{q-1} \)

(3)
若令 \( k^2=q+ 2 \) 得 k=3 得 q=7 得 p=19 為一組解

(4)
以下證明 若 \( k^2 \neq q+2 \) 則 無解
(4.1)
若 \( k^2 \leq q+1 \) 則 \(\LARGE k^2(q-1)+k \) \( \leq k^2(q-1)+k^2 \leq (q+1)(q-1)+(q+1) = q^2 +q \) \( \LARGE < q^2+q+1 \) 不合
(4.2)
若 \( k^2 \geq q+3 \) 則 \( \LARGE k^2(q-1)+k \) \( \geq (q+3)(q-1)+3 = q^2 + q +q \) \( \LARGE > q^2+q+1\) 不合
其中 \( k^2 \geq q+3 \geq 2+3 \) 故 \( k \geq 3 \)

多謝

(q-1)(q^2+q+1)=p(p-1)
顯然p>q
p是q^2+q+1的因數,設q^2+q+1=kp,則p-1=k(q-1),消掉p
q^2-(k^2-1)q+(k^2-k+1)=0,假設兩根為A,B,則
A+B=k^2-1,AB=k^2-k+1
AB-A-B=2-k
(A-1)(B-1)=3-k>0或=0
k=1,2,3
k=1,2時,不合;k=3時,q^2-8q+7=0,q=7或1(不合)
q=7時,求出p=19

嗯 用 根與係數 處裡 更快
謝謝