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請教一題 圓

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請教一題 圓

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2012-12-25 01:53

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第一題
不知道為什麼給那麼多東西,我只用
\(\displaystyle EH-HF=2 \)
\(\displaystyle EH+HF=k+2 \)
\(\displaystyle EH \times HF=4k \)
就解出\(\displaystyle EH=8,FH=6 \)

第二題
連接AD,
\(\displaystyle \angle{ADG}=\angle{OBF} \)

\(\displaystyle \angle{GAD}=\frac{1}{2}\widehat{CBD}=\angle{BOF} \)

故\(\displaystyle \Delta AGD \sim \Delta OFB \)

\(\displaystyle AG:AD=OF:OB=1:2 \)

\(\displaystyle AG=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}AC \)

故\(\displaystyle AG=GC \)

[ 本帖最後由 老王 於 2012-12-25 06:19 PM 編輯 ]
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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謝謝 指教
第一題 他有第(2)小題
是求 線段BC的長度

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回復 3# sambulon 的帖子

第一題的第二小題,我的做法很醜陋(如下),或許有更漂亮點的純幾何做法?拋磚引玉~

(註:感謝老王老師提供不用和角公式的做法~見最後的補充! ^____^ )



連接 \(\overline{BD}\)

因為 \(\overline{AD}\) 為直徑,所以 \(\angle ABD=90^\circ\)

因為 \(\displaystyle\angle ADB=\frac{1}{2}{\frown\atop{AB}}=\angle ACB\) 且 \(\displaystyle\tan\angle ACB=\frac{3}{4}\)

所以 \(\overline{AB}:\overline{BD}:\overline{AD}=3:4:5\)



在 \(\triangle AEH\) 與 \(\triangle ADB\) 中,

因為 \(\angle EAH=\triangle DAB\) 且 \(\angle ABD=90^\circ=\angle AHE\)

所以  \(\triangle AEH\sim\triangle ADB\Rightarrow \overline{AH}:\overline{EH}=\overline{AB}:\overline{BD}=3:4\)

且因為 \(\overline{EH}=8\),所以 \(\overline{AH}=6\)



因為 \(\overline{AH}=6\) 且 \(H\) 是 \(\overline{OD}\) 的中點,

所以 圓的直徑=\(\overline{AD}=\frac{4}{3}\overline{AH}=8\)



因為 \(\overline{AH}=6=\overline{HF}\) 且 \(\angle AHF=90^\circ\),

所以 \(\angle HAF=45^\circ\)



由三角函數的和角公式,

得 \(\sin\angle BAC=\sin\left(\angle BAD+45^\circ\right)=\sin\angle BAD \cos45^\circ+\cos\angle BAD\sin45^\circ\)

       \(\displaystyle=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{7}{5\sqrt{2}}\)



在 \(\triangle ABC\) 中,由正弦定理,

可得 \(\displaystyle\frac{\overline{BC}}{\sin\angle BAC}=\triangle ABC\mbox{的外接圓直徑}\)

\(\displaystyle\Rightarrow\frac{\overline{BC}}{\frac{7}{5\sqrt{2}}}=8\Rightarrow \overline{BC}=\frac{56}{5\sqrt{2}}\)




補充:

感謝老王老師提供不用和角公式的純幾何方法~~

因為 \(\triangle ACB\sim \triangle AEF\),所以 \(\displaystyle\frac{\overline{BC}}{\overline{EF}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AF}}\)

\(\displaystyle\Rightarrow \displaystyle\frac{\overline{BC}}{8+6}=\frac{\frac{24}{5}}{6\sqrt{6}}\Rightarrow \overline{BC}=\frac{56}{5\sqrt{2}}\)

^_____^

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