各位老師好!

想請教以下這題，徐氏上是分別假設 y=0和y=1的情況來說明，但是我覺得這樣有點奇怪!?
不知道老師們有沒有不同解法?
謝謝!

設a、b、c為空間中的三個單位向量，若xa+yb+cxa恆成立，其中xy為任意兩實數，試證a⊥b且a⊥c。

假設 a 與 c 的夾角為 ，a 與 b 的夾角為 ，b 與 c 的夾角為 ，

（我想～你猜得到～我想要的結論就是 cos=cos=0）

（先思考一下已知的訊息好了～）

xa+yb+cxa

xa+yb+cxa+yb+cxaxa 

y2b2+c2+2xac+2ybc+xyab0

y2+1+2xcos+2ycos+2xycos ‧‧‧‧‧（＊）

上式對任意實數 xy 需恆成立。





在（＊）中，取 y=0，可得 1+2xcos0 對任意實數 x 恆成立，因此 cos=0

（註：若 cos 非零，則可取 x=−1cos，使得 1+2xcos=−10，

　　　因此 cos 非要是零不可，不然不可能對任意實數 x 都可以使 1+2xcos0 成立！）




將 \cos\alpha=0 帶入（＊），可得 y^2+1+2y\cos\gamma+2xy\cos\beta\geq0 對任意實數 x,y 皆成立，

在上式中取 y=1，可得 2+2\cos\gamma+x\cos\beta\geq0 對任意實數 x 恆成立，因此 \cos\beta=0

（註：若 \cos\beta 非零，可以自己想想要怎樣取適當的 x ，才可以產生矛盾～）



故，\cos\alpha=\cos\beta=0\Rightarrow\vec{a}\perp\vec{b} 且 \vec{a}\perp\vec{c}