各位老師好!

想請教以下這題，徐氏上是分別假設 y=0和y=1的情況來說明，但是我覺得這樣有點奇怪!?
不知道老師們有沒有不同解法?
謝謝!

設\(a\)、\(b\)、\(c\)為空間中的三個單位向量，若\(|\;x\vec{a}+y\vec{b}+\vec{c}|\;\ge |\;x\vec{a}|\;\)恆成立，其中\(x,y\)為任意兩實數，試證\(\vec{a}⊥\vec{b}\)且\(\vec{a}⊥\vec{c}\)。

假設 \(\vec{a}\) 與 \(\vec{c}\) 的夾角為 \(\alpha\)，\(\vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 的夾角為 \(\beta\)，\(\vec{b}\) 與 \(\vec{c}\) 的夾角為 \(\gamma\)，

（我想～你猜得到～我想要的結論就是 \(\cos\alpha=\cos\beta=0\)）

（先思考一下已知的訊息好了～）

\(\left|x\vec{a}+y\vec{b}+\vec{c}\right|\geq\left|x\vec{a}\right|\)

\(\Leftrightarrow \left(x\vec{a}+y\vec{b}+\vec{c}\right)\cdot\left(x\vec{a}+y\vec{b}+\vec{c}\right)\geq\left(x\vec{a}\right)\cdot\left(x\vec{a}\right)\)

\(\Leftrightarrow y^2\left|\vec{b}\right|^2+\left|\vec{c}\right|^2+2x\vec{a}\cdot\vec{c}+2y\vec{b}\cdot\vec{c}+xy\vec{a}\cdot\vec{b}\geq0\)

\(\Rightarrow y^2+1+2x\cos\alpha+2y\cos\gamma+2xy\cos\beta\) ‧‧‧‧‧（＊）

上式對任意實數 \(x,y\) 需恆成立。





在（＊）中，取 \(y=0\)，可得 \(1+2x\cos\alpha\geq0\) 對任意實數 \(x\) 恆成立，因此 \(\cos\alpha=0\)

（註：若 \(\cos\alpha\) 非零，則可取 \(\displaystyle x=-\frac{1}{\cos\alpha}\)，使得 \(1+2x\cos\alpha=-1<0\)，

　　　因此 \(\cos\alpha\) 非要是零不可，不然不可能對任意實數 \(x\) 都可以使 \(1+2x\cos\alpha\geq0\) 成立！）




將 \(\cos\alpha=0\) 帶入（＊），可得 \(y^2+1+2y\cos\gamma+2xy\cos\beta\geq0\) 對任意實數 \(x,y\) 皆成立，

在上式中取 \(y=1\)，可得 \(2+2\cos\gamma+x\cos\beta\geq0\) 對任意實數 \(x\) 恆成立，因此 \(\cos\beta=0\)

（註：若 \(\cos\beta\) 非零，可以自己想想要怎樣取適當的 \(x\) ，才可以產生矛盾～）



故，\(\cos\alpha=\cos\beta=0\Rightarrow\vec{a}\perp\vec{b}\) 且 \(\vec{a}\perp\vec{c}\)