I-6
大圓的半徑為6，小圓的半徑為2，\(A\)在大圓的圓周上且為小圓的圓心，\(\overline{BC}\)為大圓的弦且與小圓相切。若\(\overline{AB}=8\)，則\(\overline{AC}=\)
。
[解答]
令小圓與 \( \overline{BC} \) 的切點為 \( D \) , \( \theta=\angle ABC \)
則 \( \sin\theta=\frac{2}{\overline{AB}}=\frac{1}{4} \)
令大圓之圓心為 \( O \) , 則 \( \angle AOV=2\theta\Rightarrow\overline{AC}=2\cdot6\cdot\sin\theta=3 \)
I-8
設數列\(\{\;a_n \}\;\)滿足\(a_{n+2}=a_{n+1}-a_n\)且\(a_2=96\)。已知此數列前2005項的和等於2006，則此數列前2007項的和等於
。
[解答]
\( a_{1} , a_{2} , a_{2}-a_{1}, a_{4}=-a_{1} , a_{5}=-a_{2} , a_{6}=-a_{3} \Rightarrow a_{k+3}=-a_{k}\Rightarrow \) 六個一循環且連續 6 項之和為 0
\( 2005=6\cdot334+1\Rightarrow a_{1}=a_{2005}=2006 \)
\( \sum\limits _{k=1}^{2007}a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=2a_{2}=192 \)
Team 6
所有使得\(n \cdot 2^{n-1}+1\)為完全平方數的正整數\(n\)之和為
。
[解答]
若 \( n>1 , n\cdot2^{n-1}+1 \) 為奇數，若為完全平方數。令 \( n\cdot2^{n-1}+1=(2k-1)^{2} \) (\( k\in\mathbb{N} \)) \( \Rightarrow n\cdot2^{n-3}=k(k-1) \)
若 \( n\geq3 \), \( 2^{m-3}\in\mathbb{N} \), \( k\) 和 \(k-1 \) 必有一奇數，與 \( 2^{n-3} \) 互質，因此其一為 \( n \) 之因數 \( \Rightarrow k\leq n+1\)
\( \Rightarrow n\cdot2^{n-3}\leq(n+1)\cdot n\Rightarrow2^{n-3}\leq n+1 \)
但 \( n\geq6 \) 時此不等式必不成立。因此只需再檢驗 \( n=1,2,3,4,5 \)，可得 \( n=5 \) 唯一解。
110.8.12thepiano補充
設\(n\)為正整數，滿足\(n\cdot 2^{n-1}+1\)為完全平方數的\(n\)值共有多少個？
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5
(110香山高中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3532&page=1#pid23280)
Team 9
設空間中有一質點，每一次移動的規律是由點\((a,b,c)\)移至點\((2b-c,a-b+c,2b-a)\)。若該質點由\((A,5,B)\)出發，經過數次移動後可到達點\((24,-16,25)\)，則\(A+B=\)
。
[解答]
注意 \( x+y \) 是定值，即 \((2b-c)+(a-b+c)=a+b \) 。
因此 \( A+5=24-16\Rightarrow A=3 \) ；同理 \( y+z \) 亦為定值，可得 \( B=4 \)
112.6.12
在坐標空間中，質點由點\((a,b,c)\)移到點\((b+c-1,c+a-1,a+b+3)\)稱為一次移動。已知某質點由點\((a,-2,b)\)出發，經過連續7次移動後的位置為\((169,172,170)\)，則\(a+b\)之值為何？
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
(112新北市國中聯招，
https://math.pro/db/thread-3760-1-1.html)
