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TOTAL共23題，補充計算證明第23題：

三角形ABC，若 $$a=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}，b=\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}， c=\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}，$$試證：ab+bc+ca>0。

101.7.26補充
將題目重新打字。

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-7-26 09:51 PM 編輯 ]

請教第3題的解法,謝謝!

第 3 題：

因為 \(x\neq1\)，所以 \(\displaystyle 1+x+x^2+\cdots+x^n=\frac{1-x^n}{1-x}\)

將上式左右兩邊同時對 \(x\) 微分，可得 \(\displaystyle 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}=\frac{-nx^{n-1}\cdot(1-x)-(1-x^n)\cdot(-1)}{(1-x)^2}\)

即 \(\displaystyle 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}=\frac{nx^n-x^n-nx^{n-1}+1}{(1-x)^2}\)

將上式左右兩邊同時乘上 \(x\)，可得  \(\displaystyle x+2x^2+3x^3+\cdots+nx^n=\frac{nx^{n+1}-x^{n+1}-nx^n+x}{(1-x)^2}\)

將上式左右兩邊同時對 \(x\) 微分，然後左右兩邊同時乘上 \(x\)，即可得所求。

求助高手5、9題，完全沒想法....

第 5 題：

將第一、二式表示成 \(\displaystyle \left\{\begin{array}{cc}(x-b)+(y-c)+(z-a)=0\\ b(x-b)+c(y-c)+a(z-a)=0\end{array}\right.\)

可得 \(\displaystyle (x-b):(y-c):(z-a)=\left|\begin{array}{cc}1 & 1\\ c& a\end{array} \right|:\left|\begin{array}{cc}1 & 1\\ a& b\end{array} \right|:\left|\begin{array}{cc}1 & 1\\ b& c\end{array} \right|=(a-c):(b-a):(c-b)\)

令 \(x-b=k(a-c), y-c=k(b-a), z-a=k(c-b)\)

即 \(x=b+k(a-c), y=c+k(b-a), z=a+k(c-b)\)

再帶入題目所給之第三式，可得 \((a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(k+1)=0\)

因為 \(a,b,c\) 為三相異實數，

所以 \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\left((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right)\neq0\)

故， \(k=-1\)

即 \(x=b+c-a, y=a+c-b, z=a+b-c\)

多背點公式吧
\(\displaystyle \cos\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}} \)
\(\displaystyle \cos\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{s(s-b)}{ac}} \)
\(\displaystyle \cos\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}} \)
\(\displaystyle \tan\frac{A}{2}=\frac{r}{s-a} \)
\(\displaystyle \tan\frac{B}{2}=\frac{r}{s-b} \)
\(\displaystyle \tan\frac{C}{2}=\frac{r}{s-c} \)

\(\displaystyle \frac{\sqrt{\tan\frac{B}{2} \tan\frac{C}{2}}}{\cos\frac{A}{2}}+\frac{\sqrt{\tan\frac{C}{2} \tan\frac{A}{2}}}{\cos\frac{B}{2}}+\frac{\sqrt{\tan\frac{A}{2} \tan\frac{B}{2}}}{\cos\frac{C}{2}} \)

\(\displaystyle =\frac{r \sqrt{bc}}{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}+\frac{r \sqrt{ac}}{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}+\frac{r \sqrt{ab}}{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}} \)

\(\displaystyle =\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{s} \)

又 \(\displaystyle a+b \ge 2\sqrt{ab} \)
\(\displaystyle b+c \ge 2\sqrt{bc} \)
\(\displaystyle a+c \ge 2\sqrt{ac} \)
三式相加得到
\(\displaystyle 2(a+b+c) \ge 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}) \)
故\(\displaystyle \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{s} \le 2 \)

[ 本帖最後由 老王 於 2012-8-2 11:13 AM 編輯 ]

想請教第1,2題 謝謝

第 1 題：

任取－沒有選到偶數－沒有選到５＋沒有選到偶數且沒有選到５

＝\(H_5^5-H_5^3-H_5^4+H_5^2=55\)

第 2 題：

所求＝\(\displaystyle\sum_{k=1}^{15}C^{2k+1}_3\)

　　　\(\displaystyle=\sum_{k=1}^{15}\frac{(2k+1)\cdot(2k)\cdot(2k-1)}{3!}\)

　　　\(\displaystyle=\sum_{k=1}^{15}\frac{4k^3-k}{3}\)

　　　\(\displaystyle=\frac{4}{3}\cdot\left(\frac{15\times16}{2}\right)^2-\frac{1}{3}\cdot\frac{15\times16}{2}\)

　　　\(=19160.\)

感謝瑋老師