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第一題
\( f(1)=10\Rightarrow a+b+c=9 \)
\( f(3)=30\Rightarrow9a+3b+c=3 \)
\( \Rightarrow8a+2b=-6 \)
\( f(11)-f(7)=11^{3}-7^{3}+72a+4b=11^{3}-7^{3}-12+56a \)
但 \( a \) 可為任意實數，故所求非定值
這類的題目，通常要出得剛剛好才能算，因為由兩個點，無法唯一決定那個三次式
若有計算錯證，還請指正
第二題(似乎看錯題目了)
注意 \( (x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)=x^{4}-1 \)
，
先拿 7 次式去除以 \( x^{4}-1 \) 得餘式 \( (a_{4}+1)x^{3}+(a_{5}+a_{1})x^{2}+(a_{6}+a_{2})x^{1}+(a_{7}+a_{1}) \)
被 \( x^{3}+x^{2}+x+1 \) 整除，即 \( a_{4}+1=a_{5}+a_{1}=a_{6}+a_{2}=a_{7}+a_{1}=t \)
\( t\leq8 \), 無解。
\( t=9 \) , \( 1+8=2+7=3+6=4+5\Rightarrow3!\times2^{3} \)
\( t=10 \), \( 1+9=2+8=3+7=4+6\Rightarrow3!\times2^{3} \)
\( t\geq11 \), \( a_{4} \) 無解
故有 96 組解
[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-7-22 01:39 PM 編輯 ]
