朋友問的嘉中科學班101第一階段甄選試題的第18題。
題目：設 \(a\) 為自然數，且 \(17\cdot a\) 是一個由數字 \(0\) 或 \(1\) 所組成的多位自然數，則 \(a\) 的最小值為__________。
解答：
因為 \(10^0\equiv 1 \pmod{17},\)
\(10^1 \equiv 10\pmod{17},\)
\(10^2\equiv-2\pmod{17},\)
\(10^3\equiv-3\pmod{17},\)
\(10^4\equiv4\pmod{17},\cdots\)
所以，\(10^0+10^2+10^3+10^4\equiv 0\pmod{17}\) 且 \(10^0+10^2+10^3+10^4\) 為滿足題意由0或1構成的且最小的 \(17\) 的倍數。
因此，所求之最小 \(\displaystyle a=\frac{10^0+10^2+10^3+10^4}{17}=\frac{11101}{17}=653.\)
題目來源：
http://www.cysh.cy.edu.tw/releaseRedirect.do?unitID=183&pageID=3089
