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幾何證明題

幾何證明題

1.
已知\(A\)、\(B\)為圓\(O\)外之兩點,且\(\overline{OA}\ne \overline{OB}\),試作一直徑\(\overline{PQ}\),使得\(\overline{AP}=\overline{BQ}\)。

2.
在\(\Delta ABC\)中,已知\(O\)、\(I\)分別為\(\Delta ABC\)之外心與內心,若\(\overline{AB}+\overline{AC}=2\overline{BC}\),試證:\(\overline{OI}⊥\overline{AI}\)。

3.
已知\(E\)、\(F\)為\(\overline{AB}\)之三等分點,且\(\overline{EF}\)為圓\(O\)之直徑,設\(\overline{AP}\)切圓\(O\)於\(D\)點,試證:\(∠ADE=∠PDB\)。

4.
在\(\Delta ABC\)中,已知\(∠BAC=90^{\circ}\),\(∠ABC=60^{\circ}\),\(\overline{AB}=2\),設\(\overline{AD}\)是\(\overline{BC}\)邊上的高,\(E\)是\(\overline{AC}\)上一點,且\(\Delta CDE\於)之外接圓\(O\)交\(\overline{BE}\)於\(F\)點,令\(\overline{AE}=x\),則以\(x\)表示\(\Delta DBF\)之面積。

5.
已知\(I\)為\(\Delta ABC\)之內心,設\(\overline{ID}⊥\overline{BC}\)於\(D\)點,且\(\overline{AB}\times \overline{AC}=2\overline{BD}\times \overline{DC}\),試證:\(∠A=90^{\circ}\)。

6.
設\(a_1\)、\(a_2\)、\(\ldots\)、\(a_{20}\)是20個小於70的自然數,且\(a_1<a_2<\ldots<a_{20}\),今任意取2個數為一組,並計算出差之絕對值,試證:這些差中至少有四組是相同的。


請教幾題證明題
謝謝 !!

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證明題.pdf (66.81 KB)

2012-7-5 15:49, 下載次數: 5561

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回復 1# sambulon 的帖子

第一題
作B關於O的對稱點C
作AC的中垂線交圓O於P,P'
作直徑PQ和P'Q'即為所求。
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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第二題
參考
http://tw.myblog.yahoo.com/oldbl ... &l=f&fid=11
由性質四直接得到。
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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回復 1# sambulon 的帖子

第三題
分別過E、B作AP的垂線,垂足為G、H,
EG : BH=1 : 3
GD : DH=EO : OB=1 : 3
所以三角形EGD和三角形BHD相似
角ADE=角PDB
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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回復 1# sambulon 的帖子

第四題
BD=1
分別過E、F作BD的垂線,垂足為G、H,
FH : EG=BF : BE
角BFD=角C=角BAD,所以A、B、D、F四點共圓,角AFB=90度。
所以 \( BF : FE=BA^2 : AE^2=4 : x^2 \)
\(\displaystyle FH=\frac{4}{4+x^2}EG=\frac{4}{4+x^2} \times \frac{2\sqrt{3}-x}{2} \)
\(\displaystyle (BDF)=\frac{1}{2} \times BD \times FH=\frac{2\sqrt{3}-x}{4+x^2} \)
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回復 1# sambulon 的帖子

第五題
bc=2(s-b)(s-c)
\( 2bc=(a+c-b)(a+b-c)=a^2-(b-c)^2=a^2-b^2+2bc-c^2 \)
\( a^2=b^2+c^2 \)
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