1.
已知A、B為圓O外之兩點，且OA=OB，試作一直徑PQ，使得AP=BQ。

2.
在ABC中，已知O、I分別為ABC之外心與內心，若AB+AC=2BC，試證：OI⊥AI。

3.
已知E、F為AB之三等分點，且EF為圓O之直徑，設AP切圓O於D點，試證：∠ADE=∠PDB。

4.
在ABC中，已知∠BAC=90，∠ABC=60，AB=2，設AD是BC邊上的高，E是AC上一點，且\(\Delta CDE\於)之外接圓O交BE於F點，令\overline{AE}=x，則以x表示\Delta DBF之面積。

5.
已知I為\Delta ABC之內心，設\overline{ID}⊥\overline{BC}於D點，且\overline{AB}\times \overline{AC}=2\overline{BD}\times \overline{DC}，試證：∠A=90^{\circ}。

6.
設a_1、a_2、\ldots、a_{20}是20個小於70的自然數，且a_1<a_2<\ldots<a_{20}，今任意取2個數為一組，並計算出差之絕對值，試證：這些差中至少有四組是相同的。


請教幾題證明題
謝謝 !!

第一題
作B關於O的對稱點C
作AC的中垂線交圓O於P，P'
作直徑PQ和P'Q'即為所求。

第二題
參考
http://tw.myblog.yahoo.com/oldbl ... &l=f&fid=11
由性質四直接得到。

第三題
分別過E、B作AP的垂線，垂足為G、H，
EG : BH=1 : 3
GD : DH=EO : OB=1 : 3
所以三角形EGD和三角形BHD相似
角ADE=角PDB

第四題
BD=1
分別過E、F作BD的垂線，垂足為G、H，
FH : EG=BF : BE
角BFD=角C=角BAD，所以A、B、D、F四點共圓，角AFB=90度。
所以 BF : FE=BA^2 : AE^2=4 : x^2
\displaystyle FH=\frac{4}{4+x^2}EG=\frac{4}{4+x^2} \times \frac{2\sqrt{3}-x}{2}
\displaystyle (BDF)=\frac{1}{2} \times BD \times FH=\frac{2\sqrt{3}-x}{4+x^2}

第五題
bc=2(s-b)(s-c)
2bc=(a+c-b)(a+b-c)=a^2-(b-c)^2=a^2-b^2+2bc-c^2
a^2=b^2+c^2