學校今天期末考，有題有趣的題目～

不知道除了小弟如下的做法之外，有沒有幾何上的做法，或是其他相關的性質呢？



題目：已知 \(A,B,C,D\) 為拋物線 \(y=x^2+x+1\) 上依序的相異四點，\(m_1, m_2, m_3, m_4\) 分別為 \(\overline{AB}, \overline{BC},  \overline{CD},  \overline{DA}\) 的斜率，則\(m_1-m_2+m_3-m_4\) 為何？


解答：

令 \(A(a,a^2+a+1), B(b, b^2+b+1), C(c,c^2+c+1), D(d^2+d+1)\)，

可得 \(m_1=a+b+1, m_2=b+c+1, m_3=c+d+1, m_3=d+a+1\)

因此，\(m_1-m_2+m_3-m_4=0\)

看到這個，小弟的直覺是差分

斜率就是在算差分，二次多項式，三次差分為 0

這個方向，應該也可以做出來吧，或許其實是一樣的

改成拋物線是 \( y^2=4x \) 的結果呢??

所有的拋物線都是相似形...

平移，放大縮小不移響斜率，所以還是一樣

抱歉~眼殘，沒看清楚

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-27 11:37 PM 編輯 ]

我說的是把上下型轉成左右型，這樣不變嗎??

似乎有點了解老王老師的意思...如果是幾何做法或幾何性質，上對和左右不變

而上下變左右，斜率就是倒數，看起來似乎不太可能成立，來驗一下

\( x=y^{2}, (a^{2},a), (b^{2},b), (c^{2},c), (d^{2},d) \)

\( m_1-m_2+m_3-m_4 = \frac{1}{b+a}-\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+d}-\frac{1}{d+a} \)

取 \( (a,b,c,d)=(0,1,2,3)  \) 代入得  \( \frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{3} =\frac8{15} \)
也就不是不成立，這麼一來，要走幾何的方法證明似乎變得不太可能了？

是啊!!
其實只要有垂直的情況出現，那斜率為無限大的情況就要另外處理；
所以非函數形式的東東，應該都會有問題。
題外話:我好像從來沒把斜率當成幾何物件。