1.a,b為正整數,a+2b為41的倍數,a-2b為43的倍數,求a+b的最小值=?
2.P為拋物線y^2=2x上的一點,B.C為y軸上兩點,且三角形PBC的內切圓方程式為(x-1)^2+y^2=1,求三角形PBC的最小面積為何?

1.
a+2b=41h
a-2b=43k  h正整數k整數

相加 2a=41h+43k    (1)
相減 4b=41h-43k     (2)

(1)*(2) 8ab=1684h^2 -1849k^2 >0
          知 h^2 > k^2  （主要是縮小h、k範圍用）    (3)

由(1) 可知h,k同奇或是同偶  (4)
(2) 4b≡h-3k (mod4)             (5)

利用(3)(4)(5)開始討論h、k

h=1  k無解
h=2  k=0 不符合(5)
h=3  k=1  則a=83 b=20   a+b=103
h=4  k=0  則a=82 b=41   a+b=123
h=5  k=-1 則a=81 b=62   a+b=143
        k=3  不用考慮了吧...

h>4時  若k<0 才會使得a+b有最小值
        又4b≡h-3k (mod4)            
k最小為-h+4  （-h、-h+2皆不合)
2a=41h+43(-h+4)=172-2h            a=86-h
4b=41h-43(-h+4)=84h-172           b=21h-43          a+b=20h+43 >123  當h>4時

故a+b最小為103

[ 本帖最後由 hb13256 於 2012-6-5 12:11 AM 編輯 ]

2. 昨天有人問，順便來 po 了一下

令 P(222), 切線 y=mx+2−22m. 代入圓得

x2−2x+1+(m2x2+4(−2m)mx+4(−2m)2)=1

判別式為 0
(m2+1)x2+(4m−42m2−2)x+42(1−m)2=0(4m−42m2−2)2−16(m2+1)2(1−m)2=04(2−4)m2+(83−4)m+1−42=0m=4(2−4)162(22−1)2−16(2−4)(1−42)=11−2

x=0 代入直線，得 BC=221−2

畫圖，知僅 1 時，是內切圓，此時三角形面積 =21(22)221−2=242−1=2(2+2−1+12−1)8 by 算幾。
不過以上太暴力，應該會有其它好的方法吧