填充第4題:
4.
設
a為實數,若函數
y=loga(−x2+log2ax)在
0
x
21均為實數,則
a的範圍為
。
[解答]
令f(x)=-x^2 +(log_2a) (x) , 定義域限定在x>0
由題意知欲求 f(x) 在 (0, 1/2) 滿足f(x)>0 之a 的範圍
討論:
case(1):如果2a>1, 觀察 x-->(0^+) 時 f(x)--> 負無限大
由函數的連續性知存在一個開區間(0,b)使得 f(x) 的值恆小於0,無解
case(2):如果2a<1, 先算出 f'(x)=(-2x)+ (1/ x* ln(2a) ) , 得到 x>0時 , f'(x)<0
知 f 在 x>0 時為一嚴格遞減函數
故只要 滿足 f(1/2) 大於等於0, 即可滿足所求
解 f(1/2) 大於等於0, 得到 1/32 小於等於 a < 1/2
即為所求。