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101桃園農工

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回復 10# gamaisme 的帖子

填充 6. 令 \( \vec{u}=\vec{AB} \), \( \vec{v}=\vec{AC},  \vec{AE}=x\vec{u}+y\vec{v},  \vec{BC}=\vec{v}-\vec{u} \)

由外心(中垂線)可得 \( (x\vec{u}+y\vec{v})\cdot\vec{u}=\frac{1}{2}|\vec{u}|^{2} \) 和 \( (x\vec{u}+y\vec{v})\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}|\vec{v}|^{2} \)

兩式相減,即為所求,得 \( \frac{1}{2}(6^{2}-4^{2})=10\)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-29 10:04 PM 編輯 ]
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填充6想提供另一種方法
所求=向量AEdot(向量AC一向量AB)=6X3-2X4=10

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回復 12# 阿光 的帖子

其實是一樣的式子

是小弟糊塗了...在那賣弄符號,進去死胡同了~呵~~
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引用:
原帖由 natureling 於 2012-5-29 09:32 PM 發表
感謝!!
填充第7題剛剛小弟試了一下
利用微分判別圖形的走勢,
先求出f'(x)=(ln2)*(3*2^(2x)-5)   這裡 ln 是自然對數
解出 當 x=(1/2) (log_2)(5/3) 時 (抱歉這裡很難看,就是以2為底...)
f'(x)=0, 所以當 x>(1/2) (log_2)(5/3) 時 圖形遞增,另一邊則遞減
所以f的圖形的走勢跟拋物線是很類似的,故得到
對稱軸即為 x=(1/2) (log_2)(5/3)

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填充7
這題放一下小絕~

令f(x)=3*2^x+5*2^(-x)+7
g(x)=f(-x)=3*2^(-x)+5*2^x+7
可知f(x)與g(x)對稱於y軸
當x=0時,f(x)與g(x)交於同一點A(0,15)
過A點作平行線(y=15)交f(x)於B點
解3*2^x+5*2^(-x)+7=15
得2^x=5/3 (1不合)
x=Log_2 (5/3)即為B點的x坐標
所求為AB中垂線: x=(1/2)*Log_2 (5/3)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-30 12:45 AM 編輯 ]

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填充第4題:
令f(x)=-x^2 +(log_2a) (x) , 定義域限定在x>0
由題意知欲求 f(x) 在 (0, 1/2) 滿足f(x)>0 之a 的範圍
討論:
case(1):如果2a>1, 觀察 x-->(0^+) 時 f(x)--> 負無限大
               由函數的連續性知存在一個開區間(0,b)使得 f(x) 的值恆小於0,無解
case(2):如果2a<1, 先算出 f'(x)=(-2x)+ (1/ x* ln(2a) ) , 得到  x>0時 , f'(x)<0
               知 f 在 x>0 時為一嚴格遞減函數
               故只要 滿足 f(1/2) 大於等於0, 即可滿足所求
               解 f(1/2) 大於等於0, 得到 1/32 小於等於 a < 1/2
               即為所求。

[ 本帖最後由 hua0127 於 2012-5-30 10:22 AM 編輯 ]

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不好意思,想請教填充第5題詳細解答,謝謝

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引用:
原帖由 阿光 於 2012-5-30 03:51 PM 發表
不好意思,想請教填充第5題詳細解答,謝謝


最後那一行其實就是在令一次變數變換 u=sin

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回復 15# Ellipse 的帖子

填充 7. 觀看兩位老師的作法,都好像是預知對稱軸必為鉛直線

如果猜到此,其實好像就不難做,假設對稱軸是 \( x=a \),將函數平移,使之移至 \( y \) 軸

\( g(x) =f(x+a)= 2^{a+\log_2 3} \cdot 2^x + 2^{-a+\log_2 5} \cdot 2^{-x} +7 \) 為偶函數

\( 2^x,  2^{-x} \) 係數相同時為偶函數,所以 \( a+\log_2 3 = -a+\log_2 5 \)

解得 \( a= \frac{1}{2} \log_2 \frac{5}{3} \)

不過無論以上哪個解法,都要先看出鉛直線這回事

這件事是否顯然,或是如何猜出。亦或是只有在下眼拙看不出來
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[quote]原帖由 tsusy 於 2012-5-30 04:55 PM 發表
填充 7. 觀看兩位老師的作法,都好像是預知對稱軸必為鉛直線

你這方法還真令小弟開了眼界,
誠如你所說,也是有那麼一點預知的感覺,
老實說我對這些函數也是沒多大感覺....所以我是用微分看整個圖形的趨勢,大概抓水平切線的位置
若函數圖形有非鉛直的對稱軸,(這裡假設定義域是 R)
那麼是否只有方程式圖形才有辦法達到這個需求?(函數的話可能作鉛直線會有兩個交點?)
我想嘗試找反例,像 y=1/x 就有 y=x 為對稱軸,可是他的定義域要扣掉0
還是說有鉛直漸近線的函數才"有可能"產生非鉛直線的對稱軸?
是蠻值得討論看看......

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