令 \(k=11b+7c\)，則 \(36 = 77a + 5 k\)

欲求 \(a,k\) 的整數解，

法一： 尤拉法，\(\displaystyle 36 = 77a +5k\Rightarrow k=7-15a + \frac{1-2a}{5}\)

　　　 欲求整數 \(a\) ，使得 \(k\) 亦為整數，可取 \(1-2a=5\Rightarrow a=-2\)

　　　 此時 \(k=38\) 亦為整數。


法二：因為 \(gcd(77,5)=1\) ，所以先找 「\(77\times\mbox{第一數}+5\times\mbox{第二數}=1\)」

　　　利用輾轉相除法（ＰＯ文不方便寫成表格狀，以下改以橫式書寫～），

　　　\(77÷5=15 \cdots 2\Rightarrow 77=15\cdot5+2\)

　　　\(5÷2=2 \cdots 1 \Rightarrow 5 = 2\cdot2+1\)

　　　由最後一式往上帶回去，

　　　可知 \(1 = 5 - 2\cdot2\)

　　　\(\Rightarrow 1 = 5 - 2\cdot\left(77-15\cdot 5\right)\)

　　　\(\Rightarrow 1 = 5\times31 +77\times\left(-2\right)\)

　　　左右兩邊同時乘以 \(36\)，可得

　　　\(36 = 5\times\left(31\cdot36\right)+77\times\left(-2\cdot36\right)\)

　　　\(36 = 5\times\left(1116\right)+77\times\left(-72\right)\)

　　　再找通解 \(36 = 5\times\left(1116-77k\right)+77\times\left(-72+5k\right)\)，其中 \(k\) 為任意整數

　　　取 \(k=-14\)，即可得 \(36 = 5\times38+77\times\left(-2\right)\)

法三： google "秦九韶大衍求一術"

謝謝weiye的詳解。懂了！