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101田中高中

回復 20# kyqqman 的帖子

計算 5

作法 1. 令 \( f(x) =(x-1)^3q(x) + (ax^2+bx+c) \), 則有

\( f(1) = a+b+c \), \( f'(1)= 2a+b \), \( f''(1) = 2a \)

解以上聯立方程式

作法 2. 利用二項式定理 \( x^{n+1}=[(x-1)+1]^{n+1} \), \( x^{n}=[(x-1)+1]^{n} \)

展開,3 次以上被整除,留下 2 次以下的處理就可以了
網頁方程式編輯 imatheq

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引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-5-20 09:22 AM 發表


(B): (1/n)^(1/lnn)=1/e
(C):用Integral test做,答案收斂
(D):用黎曼和做,答案發散
(D) 也可考慮用極限比較測試法,跟調和級數的一般項 1/n 作極限比較,會發現極限為1
      故原級數與調和級數同時收斂或同時發散,答案發散

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回復 14# tsusy 的帖子

用特徵多項式做出來,λ=2,2,1;不是該選a答案嗎。對角線化,如何判斷可對角線化

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2012-5-25 07:51 AM 編輯 ]

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引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-5-20 03:36 PM 發表


計算第4題第(3)
線性代數告訴我們
如果一個矩陣可以對角化
那麼它的代數重度(AM :Algebraic Multiplicity)
就要等於幾何重度(GM:Geometric Multiplicity)

這題假設A是那個第一小題答案
計算det(A-t*I)=0 ,求出t= ...
代數重度,幾何重度,。不了解。

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引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-5-25 08:06 AM 發表
代數重度,幾何重度,。不了解。
algebraic multiplicity, geometric multiplicity

線性代數的課本裡面,應該在討論對角化(特徵根與特徵向量)那個章節,會講到。:P

多喝水。

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引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-5-25 07:50 AM 發表
用特徵多項式做出來,λ=2,2,1;不是該選a答案嗎。對角線化,如何判斷可對角線化
特徵多項式跟最小多項式(minimum polynomial)應該是不一樣的觀念,但他們有一些關係:
令一個矩陣A的特徵多項式為 c(x), 最小多項式為 m(x), 值得注意的地方如下
(1) 根據 cayley-hamilton 定理,c(A)=0 (矩陣,以下都為0矩陣)
(2) A的最小多項式的定義為存在一個次數最小(但要為正)的首項係數為1的多項式m(x)使得 m(A)=0
(3) 這樣定出來的最小多項式若存在,一定唯一(因為首項係數為1, 稱之為 monic polynomial)
(4) 根據定理,m(x) 會整除 c(x)
(5) 根據定理,若 A的特徵根 a, 則 m(a)=0 (純量), 換句話說, 若 A有特徵根 a , 則 (x-a) 整除 m(x)
(6) 根據定理,若有相異特徵根 a1,a2,...,ak 且 c(x)=((x-a1)^n1)((x-a2)^n2)...((x-ak)^nk), 則
      m(x)=((x-a1)^m1)((x-a2)^m2)...((x-ak)^mk) , 其中 1小於等於 mi 小於等於 ni , 對於所有 i
(7) 根據定理,若 A 可對角化且A有相異特徵根 a1,a2,...,ak   若且唯若   A的 m(x)=(x-a1)(x-a2)...(x-ak)

故本題根據觀念,從答案中大概可推敲A的特徵值為 1,2, 驗證可對角化,可得到 A 的m(x)=(x-1)(x-2)
或直觀的去計算 A 的 c(x)=(x-1)(x-2)^2   故  m(x) =((x-1)^p) ((x-2)^q)  
可知 p=1, q=1 or 2  , 從最小的次數開始檢驗即可

最後說明A什麼時候可對角化,就像前輩說的,當代數重根數等於幾何重根數的時候
若A(假設nxn)有特徵根a , 定義a在 c(x)中的重根數為代數重數 ; 定義a所張的特徵空間的維度 dim(V(a))為幾何重數
觀念上可能要去複習一下線代比較好,但可直接用 dim(V(a))= dim(ker(A-aI))=n-rank(A-aI) 記 (這裡 I為單位矩陣)
有一個重要的性質, a的代數重根數恆大於等於幾何重根數。
故A可對角化的充要條件為所有A的相異特徵根均滿足相對應的代數重數等於幾何重數的時候。
若有錯誤也煩請指正。

[ 本帖最後由 hua0127 於 2012-5-25 10:02 AM 編輯 ]

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引用:
原帖由 weiye 於 2012-5-25 09:49 AM 發表


algebraic multiplicity, geometric multiplicity

線性代數的課本裡面,應該在討論對角化(特徵根與特徵向量)那個章節,會講到。:P
謝啦。我在去翻線代課本。

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引用:
原帖由 hua0127 於 2012-5-25 10:01 AM 發表


特徵多項式跟最小多項式(minimum polynomial)應該是不一樣的觀念,但他們有一些關係:
令一個矩陣A的特徵多項式為 c(x), 最小多項式為 m(x), 值得注意的地方如下
(1) 根據 cayley-hamilton 定理,c(A)=0 (矩陣,以下都為0 ...
謝謝你詳細的解說。

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引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-5-20 09:22 AM 發表


(B): (1/n)^(1/lnn)=1/e
(C):用Integral test做,答案收斂
(D):用黎曼和做,答案發散
D選項是調和級數,(1/2)+(1/3)+(1/4)+........
調和級數有背過,是發散級數

計算題第四題第二小題,行列式值算出來是-16,我在考場寫代表經過轉換後,變成反向,長度伸長16倍.
我這樣解釋有誤嗎??還望指正......

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2012-5-25 11:52 PM 編輯 ]

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回復 25# weiye 的帖子

請教一下計算第七題
==我連碗都拿出來試了

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