數列a_n , a_1=sqrt(2), a_(n+1)=sqrt(2+sqrt(a_n)),試證a_n為遞增數列,且上界為3,並求lim a_n值

就遞增a_(n+1)/a_n就卡住了
請版上的前輩指教

謝謝

(1)

an+1=2+an0 

知數列   an 有下界 0

(2)

a2n+1=2+an 

a2n+2=2+an+1 

a2n+2  −a2n+1=an+1−an 

(an+2  −an+1)(an+2  +an+1)=an+1−anan+1+an 

an+1−anan+2  −an+10  且  a2−a10

知 數列 遞增

(3)
a13
設 ak3
則 ak+1=2+ak2+33 
知 數列 有上界 3


(4)

因遞增有上界 故數列收斂

令數列極限值為x

得 x=2+x  整理得 x4−4x2−x+4=0  

一元四次方程懶得自己解,呼叫Alpha

解得 x=31(−1+3279−23249+3279+23249  )183118 

引用:

原帖由 cplee8tcfsh 於 2012-5-19 07:16 AM 發表
(1)an+1=2+an0  知數列   an 有下界 0
(2)
a2n+1=2+an a2n+2=2+an+1 
a2n+2  −a2n+1=an+1−an  ...

謝謝李老師

求上限與遞增又跟老師學到一個技巧

再次謝謝老師的不吝指教

證明遞增的部分也可以使用數學歸納法

an0  對所有 n 皆成立.
a2=2+an2=a1 .

設 ak+1ak  成立,

則 ak+2=2+ak+12+ak=ak+1 

故 an+1an 對所有自然數 n 成立.