數列a_n , a_1=sqrt(2), a_(n+1)=sqrt(2+sqrt(a_n)),試證a_n為遞增數列,且上界為3,並求lim a_n值

就遞增a_(n+1)/a_n就卡住了
請版上的前輩指教

謝謝

(1)

\( a_{n+1} = \sqrt{2+\sqrt{a_n}} \geq 0 \)

知數列 \(  a_n \) 有下界 0

(2)

\( a^2_{n+1} = 2+ \sqrt{a_n} \)

\( a^2_{n+2} = 2+ \sqrt{a_{n+1}} \)

\( a^2_{n+2}  - a^2_{n+1} = \sqrt{a_{n+1}} -\sqrt{a_{n}} \)

\( (a_{n+2}  - a_{n+1})(a_{n+2}  + a_{n+1}) = \frac{a_{n+1} -a_{n}}{\sqrt{a_{n+1}} +\sqrt{a_{n}}} \)

\( \frac{a_{n+2}  - a_{n+1}}{a_{n+1}-a_{n}} > 0  且  a_2 - a_1 > 0 \)

知 數列 遞增

(3)
\( a_1 < 3 \)
設 \( a_k < 3 \)
則 \( a_{k+1} = \sqrt{2+\sqrt{a_k}} < \sqrt{2+\sqrt{3} } < 3 \)
知 數列 有上界 3


(4)

因遞增有上界 故數列收斂

令數列極限值為x

得 \( x=\sqrt{2+\sqrt{x}} \) 整理得 \( x^4 -4 x^2 - x +4 =0  \)

一元四次方程懶得自己解,呼叫Alpha

解得 \( x = \frac{1}{3} ( -1 + \sqrt[3]{ \frac{79}{2} -\frac{3}{2} \sqrt{249} } + \sqrt[3]{ \frac{79}{2} +\frac{3}{2} \sqrt{249} }  ) \approx 1.83118 \)

引用:

原帖由 cplee8tcfsh 於 2012-5-19 07:16 AM 發表
(1)\( a_{n+1} = \sqrt{2+\sqrt{a_n}} \geq 0 \) 知數列 \(  a_n \) 有下界 0
(2)
\( a^2_{n+1} = 2+ \sqrt{a_n} \)\( a^2_{n+2} = 2+ \sqrt{a_{n+1}} \)
\( a^2_{n+2}  - a^2_{n+1} = \sqrt{a_{n+1}} -\sqrt{a_{n}}\) ...

謝謝李老師

求上限與遞增又跟老師學到一個技巧

再次謝謝老師的不吝指教

證明遞增的部分也可以使用數學歸納法

\(a_n > 0\)  對所有 \(n\) 皆成立.
\( a_2 = \sqrt{2+\sqrt{a_n}} > \sqrt{2} = a_1 \).

設 \( a_{k+1} > a_k \)  成立,

則 \( a_{k+2} = \sqrt{2+ \sqrt{a_{k+1}}} > \sqrt{2+\sqrt{a_k}} = a_{k+1} \)

故 \( a_{n+1} > a_n \) 對所有自然數 \( n \) 成立.