請各位老師幫幫忙了！謝謝！！︿︿

我的想法

1.  令 \( A_n=a^n-b^n \)   發現  \( A_{n+1}=A_n+A_{n-1}+A_{n-2} \) ，同理，設\( K_n=\frac{A_n}{A_1}+\frac{B_n}{B_1}+\frac{C_n}{C_1} \)  且 \( K_1=3，K_2=2，K_3=5，K_{n+1}=K_n+K_{n-1}+K_{n-2}\in  Z   \)  得證

2.      \( \large \frac{14!}{7!7!} \) =>   方法數對應到7*7方格由右上走到左下的捷徑數

3.    1:2   => 定坐標\( B(0,0)  C(6,0)    A(1,  2\sqrt{6}) \)

5.   \( \sqrt{8-3\sqrt{5}} \)                      =>餘弦定理  \( c^2= a^2+b^2-2abcos\frac{\pi}{6}  \)    將 \( a^2=2+b^2 \) 代入對\(b\)微分

不知道對不對，請各位老師指點

[ 本帖最後由 t3712 於 2012-4-26 03:23 PM 編輯 ]

第3題
尤拉線定理，所有的三角形都一樣。

第5題
你可能微分計算有誤，答案是1
第4題，這現在有應該算老耿了

\(\displaystyle a=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ \cdots +\frac{1}{2003}-\frac{1}{2004} \)

\(\displaystyle =(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+ \cdots +\frac{1}{2004})-2 \times (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \cdots +\frac{1}{2004}) \)

\(\displaystyle =(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+ \cdots +\frac{1}{2004})-(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+ \cdots +\frac{1}{1002}) \)

\(\displaystyle =\frac{1}{1003}+\frac{1}{1004}+ \cdots +\frac{1}{2004} \)

又\(\displaystyle \frac{1}{n}+\frac{1}{3007-n}=\frac{3007}{n(3007-n)} \)

所以

\(\displaystyle b=\frac{2}{3007} \times (\frac{1}{1003}+\frac{1}{1004}+ \cdots +\frac{1}{2004}) \)

故\(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{3007}{2} \)

謝謝各位老師
不知道  第五題除了用微積分求極值之外  還有沒有其他的想法?

第5題最後應是要解, 已知\(a^2-b^2=2\),求 \(a^2+b^2-\sqrt{3}ab\) 的最小值- - - - - - - - - - - - - - - - - - - \( \)
用\( x,y\) 來看比較習慣
已知\(x^2-y^2=2\),求 \(x^2+y^2-\sqrt{3}xy\) 的最小值
用坐標變換方式, 即可求出最小值用GeoGebra畫出的圖如下:
h ttp://learn.jhsh.ntpc.edu.tw/~smath/mathpro/1010427.html　連結已失效

5. 我微分計算錯誤，答案是1

謝謝老王老師