填充第13題
設有一階梯共有20階，每次只能走2階或3階，第8階階梯壞掉不能踩且必須踩上第12階的上樓方法數=　　　。

未命名3.JPG (33.15 KB)

2012-4-8 08:23

這是本來的題目嗎?
我好像眼拙,送他四分了...qq

遞迴不難做，

但要注意第八項為 0，遞迴關係為 an+3=an+1+an

從 1-12 分別為 0,1,1,1,2,2,3,0,5,3,5,8

之後再做 13-20 0,1,1,1,2,2,3,4

其實和  1-12 一樣

所以答案是 84=32

但是我也眼殘，沒看到 20 ，印象中我只算到 12階

填充:袋中有號碼球120個 ,第ｉ號球有ｉ個, i= 1~15 , 取一球後放回,記錄其號碼與ｎ之差的絕對值,求差的絕對值之期望值最小時的ｎ=?
　　　(題目大概記的是這樣),

選擇１０: (cos10度)^2+(cos50度)^2-(sin40度)(sin80度)=?


請問走樓梯的問題: 為什麼走到12階的方法數會等於走到20階的方法數一樣呢?

已修正題目,謝謝 !!

[ 本帖最後由 mandy 於 2012-4-8 06:57 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 mandy 於 2012-4-8 09:27 AM 發表
填充:袋中有1~120號球,第ｉ號球有ｉ個,取一球後放回,記錄其號碼與ｎ之差的絕對值,求差的絕對值之期望值最小時的ｎ=?
　　　(題目大概記的是這樣),

選擇１０: (cos10度)^2+(cos50度)^2-(sin40度)(sin80度)=?


請問走樓梯的問題: ...

我記得是共有120顆球，第1號到第15號，第ｉ號球有ｉ個，其他同上。

這題我猜中位數，不知道對不對...XD

引用:

原帖由 mandy 於 2012-4-8 09:27 AM 發表
填充:袋中有1~120號球,第ｉ號球有ｉ個,取一球後放回,記錄其號碼與ｎ之差的絕對值,求差的絕對值之期望值最小時的ｎ=?
　　　(題目大概記的是這樣),

選擇１０: (cos10度)^2+(cos50度)^2-(sin40度)(sin80度)=?


請問走樓梯的問題: ...

選擇第10題
求值：cos210+cos250−sin40sin80=？
(A)21　(B)23 　(C)532 　(D)43　(E)65。
[解答]
cos210+cos250−sin40sin80
=2cos20+1+2cos100+1−21cos(40−80)−cos(40+80) 
=2cos20+cos100−cos40+43
=2cos20−(cos80+cos40)+43
=2cos20−2cos60cos20+43
=2cos20−cos20+43
=43

回程的路上，想到，這題其實可以用立方和加三倍角公式做，如下

cos210+cos250−cos50cos10=cos10+cos50cos310+cos350
=41cos10+cos504cos310+4cos350
=41cos10+cos504cos30+4cos150+3(cos10+cos50)
=43

實在厲害...
來補上自己的考試中未竟之功...考試中一直在想特殊化，用特例帶數字，但一直想正三角。

但其實直角三角形才會好算。

特例：令 A(00)B(20)C(02)D(11)G(tt)， t 待決定，以滿足題目條件。

則邊長比積和可表示為 t1−t+t2−t+t2−t=2012

整理成 t2+2(2−t)(1−t)=2012(1−t)t2015t2−2018t+4=0。

邊長比的積 (1−t)t(2−t)2=t−t2t2−4t+420152015

=4−3t2018t−4−8060t+8060=−3t+4−6042t+8056=2014。

不過這樣的作法，也只能用在填充題上而已，有沒有更漂亮簡單的特例呢？

選擇10
以前PO過的作法
cos210o+cos250o−cos50ocos10o
=sin280o+sin240o−2sin80osin40ocos60o
=sin260o

(cos10o)2+(cos50o)2−(sin40o)(sin80o)=？
(1991中國高中數學聯賽)
[解答]
改計算(sin80o)2+(sin40o)2−(sin40o)(sin80o)
可以看成半徑為21圓上的三角形ABC
∠A=80o， ∠B=40^o ， ∠C=60^o
由正弦定理可知
\overline{BC}=sin80^o ， \overline{CA}=sin40^o ， \overline{AB}=sin60^o
由餘弦定理可知
\overline{AB}^2=\overline{BC}^2+\overline{CA}^2-2 \times \overline{BC} \times \overline{CA} \times cos60^o
\displaystyle (sin60^o)^2=(sin80^o)^2+(sin40^o)^2-2 \times sin40^o \times sin80^o \times \frac{1}{2}
\displaystyle \frac{3}{4}=(sin80^o)^2+(sin40^o)^2-(sin40^o)(sin80^o)

晚了一步

\Large{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\Huge{\frac{\frac{2x}{1-x^2}+\frac{3x-x^{3}}{1-3x^2}}{1-\frac{2x}{1-x^2}\frac{3x-x^{3}}{1-3x^2}}}       求x的最大值(x有給定範圍，忘記了sorry)

[ 本帖最後由 t3712 於 2012-4-8 05:33 PM 編輯 ]