18 12
發新話題
打印

2012AIME 試題與簡答

引用:
原帖由 weiye 於 2012-3-26 11:30 AM 發表
第 8 題:
971

如上圖,設由內往外各節點位置分別持有硬幣數為 \(a,b,c,d\),則 \(a+5b+5c+5d=3360\)

在最中心位置的同學,經一次交換之後,

自己的 \(a\) 個硬幣全部送出去,流入的硬幣數為 \(\displaystyle 5\cdot \) ...
為什麼同一圈的人的銅板數一樣多?

TOP

回復 11# mandy 的帖子

因為圖形旋轉後,會與原圖形相同~

或是你也可以假設 \(16\) 個變數,然後列出更多的方程式,

也可以知道很多變數位置互換後,方程式沒變。

多喝水。

TOP

不好意思,請問版主與po這份AIME的試題檔案能否借轉放在小弟的網站小弟網站網址:http://mathmind.twbbs.org
謝謝分享,感激不盡~

TOP

我的word檔可以讓你轉錄到http://mathmind.twbbs.org

TOP

引用:
原帖由 bugmens 於 2012-5-8 06:45 PM 發表
我的word檔可以讓你轉錄到http://mathmind.twbbs.org
太感謝了~
也歡迎有空來敝站參觀指教,
讓國內的數學網站可以茁壯起來~

TOP

引用:
原帖由 sgod 於 2012-5-8 07:33 PM 發表

太感謝了~
也歡迎有空來敝站參觀指教,
讓國內的數學網站可以茁壯起來~
一點點 個人小建議

有些文章內容 不是會員 就無權限 觀看
感覺不夠 大器

看了 喜歡 自然 會加入 會員

另一個例子
FB 上 有 一堆 要 按 讚 才能看 的 文章
三願: 吃得下,睡得著,笑得出來!

TOP

引用:
原帖由 cplee8tcfsh 於 2012-5-8 07:56 PM 發表


一點點 個人小建議

有些文章內容 不是會員 就無權限 觀看
感覺不夠 大器

看了 喜歡 自然 會加入 會員

另一個例子
FB 上 有 一堆 要 按 讚 才能看 的 文章 ...
這個網站剛在建設中~
一些功能也還在測試
非常感謝你的建議~

TOP

第14題

對於任意正整數n,令a = 1,2,3,...,(n - 1)(其餘大於n的數只要餘數同a的重坐後順序是跟a一樣的)
而無論n為何,(a,n) = 1,否則座位會重複
設任意兩數學家原本的座號為x,y,
訂此兩人間的人數為|x - y|(順時針方向)
|x - y| = 1,2,3,...,(n - 1)
而重坐後的兩人間的人數則為a|x - y| - mn(其中m為使0 < a|x - y| - mn < n的最大整數)
依照題意可知
重坐後需滿足
(1) \( a|x - y| - mn \ne |x - y| \Rightarrow (a - 1)|x - y| \ne mn \)
(2) \( a|x - y| - mn \ne n - |x - y| \Rightarrow (a + 1)|x - y| \ne mn \)(逆時針方向)


若n為偶數,則∵(a,n) = 1,∴a必為奇數
故(a - 1)必為偶數,令(a - 1) = 2t
設n=2k,則k必為1,2,…,(n-1)其中一個數
故當|x - y| = k時,(a - 1)|x - y| = 2kt = tn不符合(1)之條件,
故所有偶數皆不合

若n為奇數,則a = 2時,
(a - 1)|x - y|
= |x - y| = 1,2,3,...,(n - 1)
此時無論m為何,\( (a - 1)|x - y| \ne mn \)
即所有奇數皆滿足(1)

若3|n,令n=3p,同理p必為1,2,…,(n-1)其中一個數
∵(a,n) = 1,∴(a - 1)與(a + 1)必有一個為3的倍數,設為3q
當|x - y| = p時,3q|x - y| = 3pq = qn又與(1)(2)其中之一不合
故n必不為3的倍數

其餘的奇數只要不是3的倍數,在a = 2時皆可以滿足(1)(2)的條件

1<n<1000中為奇數且不為3的倍數者共有499-167=332個

[ 本帖最後由 sgod 於 2012-5-18 09:00 AM 編輯 ]
歡迎參觀~
心裡有數
http://mathmind.twbbs.org

TOP

 18 12
發新話題