試證：將連續的整數 \(202,203,...,238\) 連寫成 \(N\)，即 \(N=202203204‧‧‧‧‧‧238\)，

　　　求證 \(N\) 為 \(74\) 的倍數。


證明：

\(37\times27=999=10^3-1\)

對自然數 \(k\)，因為 \(10^3-1\Big| 10^{3k}-1\)

　　可知 \(10^{3k}-1\) 皆為 \(37\) 的倍數。

\(N=202\cdot 10^{36\times3}+203\cdot 10^{35\times3}+\cdots+237\cdot10^3+238\)

　　\(=202\cdot\left(10^{36\times3}-1\right)+203\cdot\left(10^{35\times3}-1\right)+\cdots+237\cdot\left(10^{3}-1\right)\)

　　　\(+\left(202+203+\cdots+237+238\right)\)

因此若要檢查 \(202,203,...,238\) 連寫成的 \(N\) 是否為 \(37\) 的倍數

　　只要檢查 \(202+203+...+238\) 是否為 \(37\) 的倍數即可


由 \(\displaystyle 202+203+...+238=\frac{(202+238)\cdot37}{2}=220\times37\)

　　可知 \(202+203+...+238\) 為 \(37\) 的倍數

　　可得 \(N\) 亦為 \(37\) 的倍數

且因為 \(N\) 的個位數字為偶數，且 \(2\) 與 \(37\) 互質，

所以 \(N\) 為 \(74(=2\times37)\) 的倍數。

將\(202,203,204,\ldots,237,238\)這些連續整數連接寫成一個自然數\(N\)，即\(N=202203204\ldots238\)，若\(N\)是\(a\)的倍數，且\(1\le a\le 100\)，\(a\in N\)，求\(a\)的最大值=　　　。
答案是74