題目:(2) 設P為拋物線y^2 =4x上一點,Q為圓(x–3)^2+y^2 = 1上一點,求PQ 之最小值及此時Q點的坐標
分析:
設 \((x–3)^2+y^2=1\) 的圓心為 \(O\),
對於任意的動點 \(P\),當 \(Q\) 位在 \(\overline{OP}\) 與圓的交點上時,
\(\overline{PQ}\) 會有最小值為 「\(\overline{OP}-\mbox{圓的半徑}\)」。
因此只要先找拋物線上哪點距離圓心 \(O\) 最接近就可以了。
答案:
設 \((x–3)^2+y^2=1\) 的圓心為 \(O\),
拋物線上動點 \(P(t^2, 2t)\),其中 \(t\) 為實數,
\(\displaystyle \overline{OP}^2=(t^2-3)^2+(2t-0)^2=t^4-2t^2+9=\left(t^2-1\right)^2+8\)
因此,當 \(\displaystyle t^2=1\),即 \(\displaystyle t=\pm1\) 時,
\(\overline{OP}\) 會有最小值為 \(2\sqrt{2}\),
此時 \(Q\) 位在 \(\overline{OP}\) 與圓 \((x–3)^2+y^2=1\) 的交點上,
亦會使得 \(\overline{PQ}\) 有最小值。
當然,已知 \(O,P\) 點坐標,也知道 \(\overline{OP}, \overline{OQ}\) 的長度,
就可以利用分點公式,得 \(Q\) 點坐標了。