設 \(0\le x\le 3\)，\(f(x)=4^x+k\cdot 2^x+3\)有最大值\(19\),求實數\(k=\)?

題目：設 \(0\le x\le 3\)，\(f(x)=4^x+k\cdot 2^x+3\)有最大值\(19\),求實數\(k=\)?       

解答：

令 \(t=2^x\)，

因為  \(0\le x\le 3\)，所以  \(2^0\le 2^x\le 2^3\Rightarrow 1\le t\le8\)

且 \(f(x)=t^2+kt+3\)

當 \(t=1\) 時，\(f(x)=k+4\)，

當 \(t=8\) 時，\(f(x)=8k+67\)，



因為 \(y=t^2+kt+3\) 的圖形為開口向上拋物線，且 \(1\le t\le8\) 表示只截取一小段部分的圖形，

所以 \(f(x)\) 的最大值只有可能發生在當 \(t=1\) 或 \(t=8\) 時，

case i: 最大值發生在當 \(t=1\)時，

　　　　此時 \(1^2+k\cdot 1+3=19\Rightarrow k=15\) ，

　　　　\(y=t^2+15t+3\) 拋物線的頂點之 \(x\) 坐標\(=-\frac{15}{2}<1\)，

　　　　此時 \(f(x)\) 最大值是當 \(t=8\) 的時候，最大值為 \(8^2+15\cdot8+3>19\) ，矛盾！

case i: 最大值發生在當 \(t=8\)時，

　　　　此時 \(8^2+k\cdot 8+3=19\Rightarrow k=-6\) ，

　　　　\(y=t^2-6t+3\) 拋物線的頂點之 \(x\) 坐標\(=3\)，

　　　　此時 \(f(x)\) 最大值是當 \(t=8\) 的時候，合！

由 case i & ii，可得 \(k=-6.\)