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一題機率問題

一題機率問題

甲乙丙一次投擲兩個硬幣,先得到兩個正面者獲勝
(例如甲第一次就兩個正面或是第一輪一個正,第2輪再一個正),
就是累積兩個正面以上即遊戲結束
甲先擲 再乙 再丙 一直輪 直到分出勝負
問甲乙丙獲勝機率??


這題我想很久~如果只獲得兩正面就獲勝的問題我會

但是如果可以累積的話~我想很久還是想不到

想請教各位大師~如何解?

謝謝

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在下提供一個想法
pijk  為在甲已 i 正,乙 j 正,丙 k 正的情況下,甲獲勝的機率。

用遞迴可解得 p111=43+64p111p111=6348

接著 p110=43+32p111+64p110p110=13231040

同樣地 p101=p110=13231040

p011=41+32p111+64p011p011=3681323

利用八個狀態的關係,從 1,1,1 倒著解回去,上面是解兩個 1 的,

接著 1 個 1 的很醜,

p100=43+32p110+32p101+16p111+64p100p100=8334971696

算不下去了…
網頁方程式編輯 imatheq

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P(甲贏) = 41+n=141Cnn41n+C1n41n121+21C1n41n121Cnn41n+C1n41n1212 



P(乙贏) = 41+2141+n=141Cnn41n+C1n41n121+21C1n41n121Cnn41n+C1n41n121Cn+1n+141n+1+C1n+141n21 



P(丙贏) = 41+21241+n=141Cnn41n+C1n41n121+21C1n41n121Cn+1n+141n+1+C1n+141n212 



以上這一長串並非不能算,乘開之後雖然有點眼花撩亂,但還是可以算的~

(乘開後是"等比級數"或"等差×等比"或是"等差^2 ×等比"或是"等差^3 ×等比"形式的雜級數~都是可以算的~)

眼睛很花~就讓我稍微偷懶一下,有請 wolfram alpha 幫我計算一下



P(甲贏) = 583443301552,請點 http://goo.gl/cBQ65

P(乙贏) = 583443173444,請點 http://goo.gl/mBxFs

P(丙贏) = 36149194481,請點 http://goo.gl/obil0

而且無聊還可以驗證一下~~~  583443301552+583443173444+36149194481=1





然後我說明一下~

P(甲贏) = 要嘛甲在第一局就贏,或是甲在經過 n 局之後,繼續丟~以兩正面獲勝~或以一正一反面獲勝~

    如果甲最後是以兩正面獲勝,則甲擲的前 n 局有可能全部都是兩反~或是~恰一次的一正一反&n-1次兩反,

    如果甲最後是以一正一反獲勝,則甲擲的前 n 局恰一次的一正一反,

    當然不管甲是以何種方式獲勝,乙、丙兩人擲的前 n 局必須要「全部都是兩反~或是~恰一次的一正一反&n-1次兩反」。

乙贏~或丙贏~請同理類推。:)

多喝水。

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非常非常感謝!!!!!!!!!!

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電腦模擬實驗

引用:
原帖由 ogagigi 於 2011-10-9 10:43 PM 發表 [url=redirect.php?goto=findpost&pid=4415&ptid=1246][/url]
甲乙丙一次投擲兩個硬幣,先得到兩個正面者獲勝
(例如甲第一次就兩個正面或是第一輪一個正,第2輪再一個正),
就是累積兩個正面以上即遊戲結束
甲先擲 再乙 再丙 一直輪 直到分出勝負
問甲乙丙獲勝機率??


這題我想很 ...
打開免費的 R 軟體之後,將下列指令 複製貼上 即得此機率問題實驗10000次的結果:

f=function(){
x=c();y=x;z=x
while(sum(x)<2) x=c(x,sample(0:1,2,replace=1))
while(sum(y)<2) y=c(y,sample(0:1,2,replace=1))
while(sum(z)<2) z=c(z,sample(0:1,2,replace=1))
a=length(x);b=length(y);c=length(z)
if(min(a,b,c)==a) return(1)
if(min(a,b,c)==b&b<a) return(2)
return(3)}
n=10000
zz=replicate(n,f())
a=sum(is.element(zz,1))
b=sum(is.element(zz,2))
c=n-a-b
a/n  # 甲贏的機率

b/n  # 乙贏的機率

c/n  # 丙贏的機率

結果為
  P(甲贏)=05187583443301552

  P(乙贏)=02924583443173444

  P(丙贏)=0188936149194481


R軟體請見  https://math.pro/db/thread-51-1-1.html  的說明 !

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-12-5 12:12 PM 編輯 ]

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