袋中有6顆相同的球，分別標上2個1號，2個2號，2個3號。一次取3顆，將球號相加，請問
3個球號和的標準差為多少

謝謝各位老師

答 : 121095 

通常求隨機變數 X 的母體標準差，都會先用公式 :

Var(X)=E(X2)−E(X)2

求出母體變異數 Var(X) 後，再將其開根號即為所求。其中 E(X) 為 X 的期望值，E(X2) 為 X2 的期望值。

(公式將說明於後)

因此本題的方向就是求出 E(X) 與 E(X2)，其中 X 表示三個球號和的 隨機變數，且 X=45678
因為
P(X=4)=C36C22C12=220，類似的
P(X=5)=420，P(X=6)=820，P(X=7)=420，P(X=8)=220
所以 E(X)=8i=4iP(X=i)=6 ， E(X2)=8i=4i2P(X=i)=372 

而得到 Var(X)=E(X2)−E(X)2=372−62=12，所求即為 12 


(以下為公式說明以及電腦模擬實驗)

公式是由定義推導而來 :
變異數的概念是 先將每一個資料減去平均後平方，再將這些平方數平均，因此

Var(X)=E(X−E(X))2=E(X2−2XE(X)+E(X)2)=E(X2)−2E(XE(X))+E(E(x)2)=E(X2)−2E(X)E(X)+E(X)2)=E(X2)−E(X)2

這個公式其實跟課本裡的

2=nni=1(xi−)2=nni=1xi2−2 

都是 "平方之後的平均 減去 平均之後的平方" 相同概念!


電腦模擬指令為 :  

n=10000
a=rep(c(1,2,3),each=2)
A=replicate(n,sample(a,3))
x=colSums(A);var(x)
sqrt(var(x))

以上為使用 R 軟體模擬10000次取三球加總的實驗，複製貼上後1秒內即完成模擬
詳見 高中數學學科中心電子報 (54期) 的連結 :

http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/Ctrl/ePaper/eArticleDetail.aspx?id=0f09339d-0231-40cb-83f8-002e81c1c81c


ps. 前幾天去大陸才發現，大陸不能連上這個網站! 其它如 facebook , yahoo台灣...等等都不能連

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-3 11:27 AM 編輯 ]