題目和答案請見附件


以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 62分
1名代理教師，取8名參加複試
81,81,76,72,72,65,64,62

其他
61,57,55,54,54,49,39,缺考

共計16人

第14題

第 14 題：
方程式x3−19x+a=0的三個根都是整數，求a=？
[解答]
設三整數根為 pqr

且不失一般性，可假設 pqr

則 p+q+r=0pq+qr+pr=−19

由 (p+q+r)2=p2+q2+r2+2(pq+qr+pr)

可得 p2+q2+r2=38

　　 (pqr)=(611)(532)(442)

且由 p+q+r=0，可得 (pqr)=(5−3−2)或(−532)

故，a=−pqr=−30 或 30

想請教 4和9題 謝謝

第 4 題
過P(−12−5)之直線L，交L1：1x+2=2y−3=−2z+3於A點，交L2：−3x−2=4y+2=z1於B點，試求出B點之坐標。
[解答]
設 A(−2+t3+2t−3−2t)B(2−3s−2+4ss)

因為 PAB 三點共線，

所以 向量 PA 平行 向量PB

　　 3−3s−1+t=1+2t−4+4s=5+s2−2t

由分數的合分比性質，

可得 3−3s−1+t=1+2t−4+4s=5+s2−2t


　　　　　　　　=2−1+t+11+2t+22−2t23−3s+1−4+4s+25+s 

　　　　　　　　 =312

　　 3−3s−1+t=1+2t−4+4s=5+s2−2t=41

　　解聯立方程式可得 t=110s=511

　　故，B 點坐標為 (5−23534511)




註：要找一組數 (pqr) 使得 (pqr)(12−2)=0 且 (pqr)(−341)=0

　　則利用外積，即可很快得到 p:q:r=10:5:10=2:1:2

第 9 題
若i=−1 ，試求出20n=1(1+in)n 的虛部。
[解答]
對任意 k=01234

當 n=4k+1，則 (1+in)n=(1+i)4k+1

當 n=4k+2，則 (1+in)n=(1−1)4k+2=0

當 n=4k+3，則 (1+in)n=(1−i)4k+3

當 n=4k+4，則 (1+in)n=(1+1)4k=24k


所以所求之虛部＝(1+i)1+(1+i)5+(1+i)9+(1+i)13+(1+i)17

　　　　　　　　+(1−i)3+(1−i)7+(1−i)11+(1−i)15+(1−i)19

　　　　　　　　的虛部

　　　　　　　＝(1+i)1+(1+i)4+(1+i)8+(1+i)12+(1+i)16 

　　　　　　　　+(1−i)(1−i)2+(1−i)6+(1−i)10+(1−i)14+(1−i)18 

　　　　　　　　的虛部

　　　　　　＝(1+i)1+(2i)2+(2i)4+(2i)6+(2i)8 

　　　　　　　　+(1−i)(−2i)+(−2i)3+(−2i)5+(−2i)7+(−2i)9 

　　　　　　　　的虛部

　　　　　　＝−205−205i 的虛部

　　　　　　＝−205

想再請教 12題 謝謝

12.
在坐標空間中，一正立方體的八個頂點分別為(000)、(100)、(110)、(010)、(001)、(101)、(111)與(011)。若 A 、 B 分別為此正立方體兩相異稜邊的中點，則 \overline{AB} 共有幾種可能？

哈囉 ,我也想請教14題 , 大致上解法即可,不用詳解, 請高手指教,謝謝^^

12. 在坐標空間中，一正立方體的八個頂點分別為(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)與(0,1,1)。
若A、B分別為此正立方體兩相異稜邊的中點，則 \displaystyle \vec{AB} 共有幾種可能？

答 : 54

真的算算看 \displaystyle \vec{AB} 後會發現只有 4 類 :

第一類 :  0,0,1 的排列並考慮正負號，有 \displaystyle 3\times2=6 種

第二類 :  0,1/2,1/2 的排列並考慮正負號，有 \displaystyle 3\times2^2=12 種

第三類 :  0,1,1 的排列並考慮正負號，有 \displaystyle 3\times2^2=12 種

第四類 :  1/2,1/2,1 的排列並考慮正負號，有 \displaystyle 3\times2^3=24 種

所以共有 \displaystyle 6+12+12+24=54 種。

各位大師，想請教第13題要如何解？？感謝~~~