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100麗山高中第二次

100麗山高中第二次

題目和答案請見附件

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100麗山高中第二次.rar (126.75 KB)

2011-6-26 07:49, 下載次數: 11131

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1.
空間坐標中,光源自點P(104)發出,球Sx2+y2+(z1)2=1在xy平面上的影子形成一個橢圓,則此橢圓的短軸長為?

空間中一球面S:x^2+(y-2)^2+(z-2)^2=2,由點A(0,4,4)置一光源照射球面。 求球面S在xy平面上的影子輪廓的方程式
(98國立臺中一中期中考試題)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=206&page=2#pid2946


5.
an=1(n+1)n+nn+1,求99n=1an 

an=1(n+1)n+nn+1,試求a1+a2++a99=
(97台中高工)

n=11(n+1)n+2+(n+2)n+1= 
(1)22  (2)1 (3)22  (4)2

(98桃園縣國中聯招)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-26 08:12 AM 編輯 ]

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想請教第1題的部份

引用:
原帖由 bugmens 於 2011-6-26 08:06 AM 發表
1.
空間坐標中,光源自點P(104)發出,球Sx2+y2+(z1)2=1在xy平面上的影子形成一個橢圓,則此橢圓的短軸長為?

空間中一球面S:x^2+(y-2)^2+(z-2)^2=2,由點A(0,4,4)置一光源照射球面。 求球面S在xy平面上的 ...
bugmens 您好~
請問您檔案中最後一步...
相似形的那裡不太懂@@
為什麼光源(0,4,4)  球心(0,2,2)
但您相似三角形那個部分長度寫2呢
不是(2根號2)嗎
想不通@@
感謝您指點!!

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你可以注意到座標軸只有出現x軸和z軸,y軸是伸出螢幕的
相似三角形那部份其實是把全部的圖形都投影到XZ平面上
此時光源可視為(0,0,4),球心視為(0,0,2)故兩點距離2

當初製作時忽略到這細節的部份,希望這樣的解釋能讓你了解

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-26 02:26 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 bugmens 於 2011-6-26 02:22 PM 發表
你可以注意到座標軸只有出現x軸和z軸,y軸是伸出螢幕的
相似三角形那部份其實是把全部的圖形都投影到XZ平面上
此時光源可視為(0,0,4),球心視為(0,0,2)故兩點距離2

當初製作時忽略到這細節的部份,希望這樣的解釋能讓你了 ...
原來是這樣~
懂了!
謝謝您!!

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第一題
弄懂bugmens老師的解法
還有解題過程中投影的想法再去找資料
有找到另一種解答
不過有很多記號

將定點P往球S投影的情形看成圓錐面
與球S的切圓記為圓C
包含圓C的平面記為E1
xy平面記為E2
則題目中提到的投影形狀,就是平面E2截圓錐面所得的橢圓

令圓錐的頂角為E1E2所夾兩面角為
由離心率的定義可得
e=ca=sincos

以上是對一般平面截圓錐所得的橢圓都成立的。

針對這個題目
光源P(104)和球心O(001)剛好都在xz平面上
把整個圖形投影到xz平面(附件圖)
頂角\theta和兩面角\phi都標記在上面
\sin\phi \overrightarrow{PO}\overrightarrow{OH}夾角餘弦值,得\frac{1}{\sqrt{10}}
\cos\theta則利用 \overrightarrow{PO}\overrightarrow{PF}去計算,得\frac{3}{\sqrt{10}}
所以離心率e=\frac{c}{a}=\frac{\sin\phi}{\cos\theta}=\frac{1}{3}

計算切線\overleftrightarrow{PE}: z=-\frac{4}{3} x+\frac{8}{3}
可得2a=\overline{EF}=3a=\frac{3}{2},由e=\frac{1}{3}c=\frac{1}{2}
最後b^2=a^2-c^2b=\sqrt{2},短軸長2\sqrt{2}

[ 本帖最後由 fortheone 於 2012-2-19 01:26 PM 編輯 ]

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2012-2-19 13:26

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想請問填充第2,3,4 題

想請問填充第2,3,4 題,以及計算題的題目,謝謝。

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填充2.
有一撞球臺如右圖所示,曲線部分Γ是一個拋物線,若 \overline{AB} 與Γ的軸垂直,\overline{AB}=20,今小明P處將球平行Γ之軸向Q,經反彈到R,最後再反彈到S,若\overline{AP}=2\overline{BS}=8,則拋物線Γ的焦距為   
[解答]
不妨設坐標, 原點在頂點, x 軸在對稱軸上, 拋物線開口向右
拋物線方程式可設為 y^2=4cx, 焦點 (c,0).
\overline{AB} =20, \overline{AP}=2, \overline{BS}=8, 故 P, Q 兩點的 y 坐標為 8; R, S 兩點的 y 坐標為 -2.
由光學性質可知, \overline{PQ} 通過焦點, 可設直線方程式為 y=m(x-c)
y^2=4cxy=m(x-c) 聯立消去 x, 可得 y^2 -\frac{4c}{m}y -4c^2 =0
且此方程式兩根為 8 -2
故兩根之積 -16 = -4c^2, 可得 c=2.


填充3.
函數f(x)=(sinx+cosx)^3+(sinx+cosx)^2-(sinx+cosx)+2的最大值為M,最小值為m,則數對(M,m)-   
[解答]
t=\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x+45^\circ) , 故 -\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}.
g(t) = t^3 + t^2 - t +2 ,
可利用微分找出 g(t) [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] 之間的最大最小值.


填充4.
求: \displaystyle 1 \times \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)
\displaystyle +3 \times \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)
\displaystyle +5\times \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)+\ldots+
\displaystyle +197 \times \left(\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)+199 \times \frac{1}{100} 的值為   
其他類題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9317
[解答]
原式重新整理可得
\displaystyle \frac{1}{1} + \frac{1+3}{2} + \frac{1+3+5}{3} + \frac{1+3+5+7}{4} + \cdots + \frac{1+3+\cdots+199}{100}
\displaystyle =\frac{1^2}{1} + \frac{2^2}{2} +\frac{3^2}{3} + \cdots + \frac{100^2}{100}
=1+ 2+ 3+ \cdots + 100=5050

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回復 8# scale 的帖子

利用微分算出最大值為1,但解答的最大值為4+\sqrt{2},不知是哪裡有問題? 請指教

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引用:
原帖由 Jacob 於 2012-5-23 01:15 AM 發表
利用微分算出最大值為1,但解答的最大值為4+根號2,不知是哪裡有問題? 請指教
g'(t)=0 ,所解出的t=-1,1/3 ,這些代入g(t)後只能求出極大值,極小值
要算最大值還要將端點值(t=-2^0.5,t=2^0.5)代入g(t)
當t=2^0.5時,g(t)有最大值4+2^0.5

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