題目和答案請見附件

選擇3
\(\displaystyle f(x)=\frac{4x^2+4x-24}{x^4-2x^3-9x^2+18x}=\frac{4(x+3)(x-2)}{x(x-2)(x+3)(x-3)} \)
那麼當x趨近2或-3的時候，極限值是存在的，
所以垂直漸近線只有x=0和x=3

選擇4
x^2的係數就是從{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}中任選兩數相乘的總和
這會等於
\(\displaystyle \frac{1}{2} \times [(2+4+\cdots+20)^2-(2^2+4^2+\cdots+20^2)] \)
答案是5280

填充1
考慮函數\( f(A,B,C)=(A+B+C)^n \)
展開式每一項就是一種安排方式
現在要求A房間有奇數個人
意即A的次數為奇數的所有係數和
\(\displaystyle \frac{1}{2} \times (f(1,1,1)-f(-1,1,1))=\frac{3^n-1}{2} \)

填充4
寫出前面幾項，猜測是費氏數列
補，令
\(\displaystyle a_n=\Sigma_{k=0}^{\infty} C_{k}^{n-k} \)

\(\displaystyle =C_{0}^{n}+\Sigma_{k=1}^{\infty} (C_{k}^{n-k-1}+C_{k-1}^{n-k-1}) \)

\(\displaystyle =C_{0}^{n-1}+\Sigma_{k=1}^{\infty} C_{k}^{n-k-1}+\Sigma_{k=1}^{\infty} C_{k-1}^{n-k-1} \)

\(\displaystyle =\Sigma_{k=0}^{\infty} C_{k}^{n-1-k}+\Sigma_{k=0}^{\infty} C_{k}^{n-2-k} \)

\(\displaystyle =a_{n-1}+a_{n-2} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2011-6-20 10:35 PM 編輯 ]

請教一下計算第三題，覺得自己的答案算得有點怪，算出來答案為125/8

填充2
考慮A(1,-1,1)在坐標軸和坐標平面的投影點會構成正立方體，
令O(0,0,0),B(1,0,0),C(0,-1,0),D(0,0,1)
BCD構成正三角形，且平面BCD和OA垂直
故旋轉時B-->D,D-->C,C-->B
於是
(a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)
=a(1,0,0)-b(0,-1,0)+c(0,0,1)
-->a(0,0,1)-b(1,0,0)+c(0,-1,0)=(-b,-c,a)
所以答案是(-b,-c,a)

我是這樣算，不知對不對
假設期望值為E
拿到白球就必須重新計算，所以分成
第一次拿到白球，已經取一次，還需E次；
第一次拿到紅求，但第二次拿到白球，已經取兩次，還需E次；
前兩次紅球，第三次拿到白球，已經取三次，還需E次；
前三次都拿到紅球，結束。
所以列式
\(\displaystyle E=\frac{3}{5}(E+1)+\frac{2}{5} \times \frac{3}{5}(E+2)+(\frac{2}{5})^2 \times \frac{3}{5}(E+3)+(\frac{2}{5})^3 \times 3 \)
解得
\(\displaystyle E=\frac{195}{8} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2011-6-19 09:18 PM 編輯 ]

順便把計算題寫完
2
令\( \angle{BAD}=\alpha , \angle{ABC}=\beta \)
那麼\( \angle{AFB}=\alpha+\beta \)
將條件同除以AB得到
\(\displaystyle 2(\cos{\alpha}+\cos{\beta})=\sin{\alpha}+\sin{\beta} \)
\(\displaystyle 4\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}=2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}} \)
\(\displaystyle \tan{\frac{\alpha+\beta}{2}}=2 \)
\(\displaystyle \cos({\alpha+\beta})=\frac{1-4}{1+4}=-\frac{3}{5} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2011-6-19 12:20 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 老王 於 2011-6-19 11:49 AM 發表
我是這樣算，不知對不對
假設期望值為E
\(\displaystyle E=\frac{3}{5}(E+1)+\frac{2}{5} \times \frac{3}{5}(E+2)+(\frac{2}{5})^2 \times \frac{3}{5}(E+3)+(\frac{2}{5})^3 \times 3 \)
解得 ...

看不懂，請問為何可以這樣列式?

計算1
假設2*n的放法有\( a_n \)種
再假設2*n少了一個角落的方格，放法有\( b_n \)種

計算\( a_n \)的時候，可以先考慮最左邊1*2的方格，
如果都不放，剩下2*(n-1)方格，有\( a_{n-1} \)種；
如果放了一格，另一格不能放，連帶旁邊一格也不能放，剩下2*(n-1)少一個角落，有\( b_{n-1} \)種，
故有\( a_n=a_{n-1}+2b_{n-1} \)

計算\( b_n \)的時候，先考慮單獨的那一格，
如果不放，剩下2*(n-1)方格，有\( a_{n-1} \)種；
如果放，旁邊一格不能放，剩下2*(n-1)少一個角落，有\( b_{n-1} \)種，
故有\( b_n=a_{n-1}+b_{n-1} \)

由上面兩式，可以用矩陣表示，然後用對角化的作法；或是得到
\( a_n=2a_{n-1}+a_{n-2},a_1=3,a_2=7 \)解此遞迴方程
特徵方程式\( x^2=2x+1 \)
得到特徵值為\( 1+\sqrt2,1-\sqrt2 \)
假設\(\displaystyle a_n=c_1(1+\sqrt2)^n+c_2(1-\sqrt2)^n \)
將初值條件代入解得
\(\displaystyle c_1=\frac{1+\sqrt2}{2},c_2=\frac{1-\sqrt2}{2} \)
所以

\(\displaystyle a_n=\frac{1}{2}[(1+\sqrt2)^{n+1}+(1-\sqrt2)^{n+1}] \)