計算題第四題
100家齊女中
計算題第四題
試求滿足\({p^3} + 2{p^2} + p\)，恰有42個正因數這個條件的最小質數\(p\)為多少?
解答
(1) 當 質數 \(p=2\)帶入，很顯然不合，恰有42個正因數這個條件。
(2)\({p^3} + 2{p^2} + p = p{\left( {p + 1} \right)^2}\)
p為質數(奇數)，則 \(p+1\)為偶數，代表可以再分解。
令\(p=2k+1,k\in N\) 帶回原式
\( \Rightarrow p{\left( {2k + 1 + 1} \right)^2} = {2^2}p{\left( {k + 1} \right)^2}\)
正因數個數\( (1+1)(2+1)(2+1)=18\) 不合
令\(k=2t+1,t\in N\) 帶回原式
\( \Rightarrow {p^1}{\left( 2 \right)^4}{\left( {t + 1} \right)^2}\)
正因數個數\( (1+1)(5+1)(2+1)=36\) 不合
令\(t=2m+1,m\in N\) 帶回原式
\( \Rightarrow {p^1}{\left( 2 \right)^6}{\left( {t + 1} \right)^2}\)
正因數個數\( (1+1)(6+1)(2+1)=42\) 合
代表\(m+1\)為質數，目標要求最小質數\(p\)
所以取\(m=2\)，\(m=1\)不合
\(t=(2)(2)+1=5\),\(k=(2)(5)+1=11\),\(p=2(11)+1=23\) 答案
\(p=23\)
