第16題
設聯立不等式\(\cases{\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}\le 1\cr |\;y|\;\le 2}\)在坐標平面上所圍成的區域為\(R\)，求此區域\(R\)繞\(x\)軸旋轉所得旋轉體體積為　　　。
[解答]
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2519

可否請教第11題的解題方向

以及第18題始終算不出所公佈的答案

11題
四邊形\(ABCD\)為圓內四邊形，\(\overline{AC}\)為直徑且\(\overline{AC}=2\)，又\(\displaystyle \vec{AC}=\frac{3}{2}\vec{AB}+\frac{5}{2}\vec{AD}\)，\(\overline{AC}\)與\(\overline{BD}\)相交於\(E\)點，則\(\overline{BD}\)長度為　　　。
[解答]
假設\(\displaystyle \vec{AE}=k\vec{AC}=\frac{3k}{2}\vec{AB}+\frac{5k}{2}\vec{AD} \)
\(\displaystyle \frac{3k}{2}+\frac{5k}{2}=1 \)
\(\displaystyle k=\frac{1}{4} \)
所以\(\displaystyle AE=\frac{1}{2} \)
以及\(\displaystyle \vec{AE}=\frac{3}{8}\vec{AB}+\frac{5}{8}\vec{AD} \)
那就知道\(\displaystyle BE : DE=5:3 \)
設為\(\displaystyle BE=5t,DE=3t \)
由圓冪定理\(\displaystyle AE \times EC=BE \times ED \)
解出\(\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{20}} \)
那麼\(\displaystyle BD=8t=\frac{4\sqrt{5}}{5} \)

18題
設雙曲線\(\displaystyle x^2-\frac{y^2}{3}=1\)的右頂點為\(A\)，右焦點為\(F\)，過點\(F\)平行於雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交於\(B\)點，則\(\Delta AFB\)的外接圓半徑長為　　　。
[解答]
\(A(1,0)\)，\(F(2,0)\)
計算B
選一條漸近線就好(因為對稱)，選斜率為\(\displaystyle \sqrt3 \)
直線\(\displaystyle y=\sqrt3(x-2) \)代入雙曲線求交點得到
\(\displaystyle B(\frac{5}{4},-\frac{3\sqrt3}{4}) \)
\(\displaystyle AB=\frac{\sqrt7}{2} \)
\(\displaystyle \angle{AFB}=60^o \)
\(\displaystyle 2R=\frac{AB}{\sin60^o}=\frac{\sqrt{21}}{3} \)
\(\displaystyle R=\frac{\sqrt{21}}{6} \)

計算題有兩題，我是憑印象記下來的
我只記得第一題，有一些敘述我記不太清楚，可能有所遺漏1. a,b 屬於實數， lim   f(x) / (x-1) =a , lim f(x) / (x-2) = b ,
                                                                                                                        x->1                         x->2
(1)  求 f(1) +f(2)
(2) ab>0 , 證明: f(x) =0 在 1<= x <= 2 至少有三個實根

想請教填充一.3和填充二 3.6
謝謝大家!!

填充一3
求\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2-x+1}-x)=\)　　　。
[提示]
前後都趨近正無限大

填充二3
袋中有55個顏色及大小均相同的球，僅編號不同，分別是1號球1個，2號球2個，3號球3個，…，10號球10個，今自袋中任取4球，則取出的情形有　　　種。
[解答]
只看取出情況，意即只看取到的號碼狀況，分成
4:C(7,1)=7
3+1:C(8,1)*C(9,1)=72
2+2:C(9,2)=36
2+1+1:C(9,1)*C(9,2)=324
1+1+1+1:C(10,4)=210
全部相加得到649

填充二6
\(n\)為自然數，已知\(1\le n \le 2011\)，若\(a_n=log_9 n\)為有理數，則所有\(a_n\)的總和為　　　。
[解答]
\(\displaystyle a_n=\log_9 n=\frac{1}{2}\log_3 n \)
所以n要為3的指數，有1,3,9,27,81,243,729
總和為\(\displaystyle \frac{1}{2}(1+2+3+4+5+6)=\frac{21}{2} \)

引用:

原帖由 老王 於 2011-6-1 02:53 PM 發表
填充一3
前後都趨近正無限大

我的想法是:上下同乘(x^2-x+1)^(1/2)+x
如此一來分子變成1-x
分母變成(x^2-x+1)^(1/2)+x
再上下同除x
那就變成-1/2
那A安捏??
...

填充一3
求\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2-x+1}-x)=\)　　　。
[提示]
如果用反有理化，問題出在同除以x的時候，
因為x是負值，所以拿到根號裡面時，外面要留一個負號，這樣分母就是0了。

填充二2
對實數\(a\)和\(b\)，定義\(a*b=a^b+b^a\)。如果實數\(x\)滿足\(2*x=2011\)，則\([\;x]\;\)的值為　　　。
(其中\([\;x]\;\)不大於\(x\)的最大整數)
[解答]
意思就是要解2^x+x^2=2011
分成x>0和x<0來看
在x>0，2^x和x^2都嚴格遞增，所以只有一解，然後就代數字
x=10，2^10+10^2<2011
x=11，2^11+11^2>2011
所以這邊的解的高斯值為10
當x<0，0<2^x<1，所以不大需要去管他
(-44)^2=1936，(-45)^2=2025
所以解介於-44,-45之間，所以高斯值為-45

填充二.2
對實數\(a\)和\(b\)，定義\(a*b=a^b+b^a\)。如果實數\(x\)滿足\(2*x=2011\)，則\([\;x]\;\)的值為　　　。
(其中\([\;x]\;\)不大於\(x\)的最大整數)
[解答]
2*x=2^x+x^2=2011
令f(x)=2^x+x^2-2011
因f(10)=2^10+10^2-2011<0且f(11)=2^11+11^2-2011>0
由勘根定理得在10~11間至少有一實根x使得f(x)=0
所以x=10. ...   ,[x]=10

又因f(-44)=2^(-44)+(-44)^2-2011<0且f(-45)=2^(-45)+(-45)^2-2011>0
由勘根定理得在-45~-44間至少有一實根x使得f(x)=0
所以x=-44. ...   ,[x]=-45
所求=10或-45