請問第6題第7題第11題
6.a+b=√3,ab=1,求a^100+b^100

7.二項分佈(n,p)=(5,1/2)，x表成功的次數
(1)求P(u-σ<x<u+σ)
(2)結果是否和常態分佈相同

11.A=[a_{ij}],i,j屬於{0,1,2}，A為2*2矩陣，試問可逆的A有幾個?

第 6 題. a+b=√3,ab=1,求a^100+b^100

解答：

解聯立方程式（a+b=√3,　ab=1），

可得 a=23+ib=23−i  或 a=23−ib=23+i 

則，所求 a100+b100=23+i100+23−i100 

　　　　　　　=cos30+isin30100+cos−30+isin−30100 

　　　　　　　　　＜套用隸美弗定理，可得如下＞

　　　　　　　=cos3000+isin3000+cos−3000+isin−3000 

　　　　　　　=2cos3000

　　　　　　　=2cos120

　　　　　　　=−1

（當然有人對公式很熟的話，也可以利用 a+a1=3=2cos30a100+1a100=2cos3000 ）

11.A=[a_{ij}],a_{ij} 屬於{0,1,2}，A為2*2矩陣，試問可逆的A有幾個?

解答：

題目等同於 「設 abcd012，求滿足 〝ad 不等於 bc〞 的解 (abcd) 有多少組？」

先來求 ad=bc 的有幾組好了～

case i: 等號左右兩邊都是零

　　　　33−2233−22=25  組

case ii: 等號左右兩邊都不是零

　　　　case a: 等號左右兩邊都是 1

　　　　　　　　有 1 組

　　　　case b: 等號左右兩邊都是 2

　　　　　　　　(ad)=(12) 或 (21)

　　　　　　　　搭配 (bc)=(12) 或 (21)

　　　　　　　　有 22=4 組

　　　　case c: 等號左右兩邊都是 4

　　　　　　　　有 1 組

所以滿足 ad=bc 的有 31 組，

那滿足 〝ad 不等於 bc〞 的就有 34−31=50 組。

7.二項分佈(n,p)=(5,1/2)，x表成功的次數
(1)求P(u-σ<X<u+σ)
(2)結果是否和常態分佈相同


解答：

※※　小弟對於統計並不是很擅長，以下敘述如果有錯誤的地方，

　　　或是有在統計上敘述的不妥之處，希望有統計高手能不吝告知。


二項分佈的平均數 =np=521=25

　　　　　標準差 =np1−p=25 


　　　　　（以上兩者的證明請見 google）

（1） 題目所求　\displaystyle P(\frac{5-\sqrt{5}}{2}<X<\frac{5+\sqrt{5}}{2})

　　　　　　　　=P(1.38...<X<3.61...)

　　　　　　　　=P(X=2)+P(X=3)

　　　　　　　　\displaystyle =C^5_2\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3+C^5_3\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2

　　　　　　　　\displaystyle =\frac{5}{8}=0.625


（2）如果是常態分佈的話，P(u-σ<X<u+σ)=68.xxx％=0.68...，

　　　所以只是近似於常態分佈，而非常態分佈。

補上完整的題目和部分出處

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-9 08:43 PM 編輯 ]

建議將隨機變數 \displaystyle x 用 大寫 \displaystyle X 來表示

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-5-26 10:42 AM 編輯 ]

引用:

原帖由 Joy091 於 2011-5-26 10:40 AM 發表
建議將隨機變數 \displaystyle x 用 大寫 \displaystyle X 來表示

已修改，感謝！ ^__^

請教第12題兩個小題證明。感謝。

第12題
(1)
\begin{align}   & n=3k\ ,\ {{2}^{n}}-1={{8}^{k}}-1\equiv 1-1\equiv 0\ \left( \bmod \ 7 \right) \\ & n=3k+1\ ,\ {{2}^{n}}-1=2\times {{8}^{k}}-1\equiv 2-1\equiv 1\ \left( \bmod \ 7 \right) \\ & n=3k+2\ ,\ {{2}^{n}}-1=4\times {{8}^{k}}-1\equiv 4-1\equiv 3\ \left( \bmod \ 7 \right) \\ \end{align}
所求為 n = 3k (k 為自然數)

(2) 方法同上