請問第6題第7題第11題
6.a+b=√3,ab=1,求a^100+b^100

7.二項分佈(n,p)=(5,1/2)，x表成功的次數
(1)求P(u-σ<x<u+σ)
(2)結果是否和常態分佈相同

11.A=[a_{ij}],i,j屬於{0,1,2}，A為2*2矩陣，試問可逆的A有幾個?

第 6 題. a+b=√3,ab=1,求a^100+b^100

解答：

解聯立方程式（a+b=√3,　ab=1），

可得 \(\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}+i}{2},b=\frac{\sqrt{3}-i}{2}\) 或 \(\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}-i}{2},b=\frac{\sqrt{3}+i}{2}\)

則，所求 \(\displaystyle a^{100}+b^{100}=\left(\frac{\sqrt{3}+i}{2}\right)^{100}+\left(\frac{\sqrt{3}-i}{2}\right)^{100}\)

　　　　　　　\(\displaystyle =\left(\cos 30^\circ+i\sin 30^\circ\right)^{100}+\left(\cos \left(-30^\circ\right)+i\sin \left(-30^\circ\right)\right)^{100}\)

　　　　　　　　　＜套用隸美弗定理，可得如下＞

　　　　　　　\(\displaystyle =\left(\cos 3000^\circ+i\sin 3000^\circ\right)+\left(\cos \left(-3000^\circ\right)+i\sin \left(-3000^\circ\right)\right)\)

　　　　　　　\(=2\cos 3000^\circ\)

　　　　　　　\(=2\cos 120^\circ\)

　　　　　　　\(=-1\)

（當然有人對公式很熟的話，也可以利用 \(\displaystyle a+\frac{1}{a}=\sqrt{3}=2\cos 30^\circ\Rightarrow a^{100}+\frac{1}{a^{100}}=2\cos3000^\circ\)）

11.A=[a_{ij}],a_{ij} 屬於{0,1,2}，A為2*2矩陣，試問可逆的A有幾個?

解答：

題目等同於 「設 \(a,b,c,d\in\left\{0,1,2\right\}\)，求滿足 〝\(ad\) 不等於 \(bc\)〞 的解 \((a,b,c,d)\) 有多少組？」

先來求 \(ad=bc\) 的有幾組好了～

case i: 等號左右兩邊都是零

　　　　\(\left(3\cdot 3 - 2\cdot 2\right)\cdot\left(3\cdot 3 - 2\cdot 2\right)=25\) 組

case ii: 等號左右兩邊都不是零

　　　　case a: 等號左右兩邊都是 \(1\)

　　　　　　　　有 \(1\) 組

　　　　case b: 等號左右兩邊都是 \(2\)

　　　　　　　　\((a,d)=(1,2)\) 或 \((2,1)\)

　　　　　　　　搭配 \((b,c)=(1,2)\) 或 \((2,1)\)

　　　　　　　　有 \(2\cdot2=4\) 組

　　　　case c: 等號左右兩邊都是 \(4\)

　　　　　　　　有 \(1\) 組

所以滿足 \(ad=bc\) 的有 \(31\) 組，

那滿足 〝\(ad\) 不等於 \(bc\)〞 的就有 \(3^4-31=50\) 組。

7.二項分佈(n,p)=(5,1/2)，x表成功的次數
(1)求P(u-σ<X<u+σ)
(2)結果是否和常態分佈相同


解答：

※※　小弟對於統計並不是很擅長，以下敘述如果有錯誤的地方，

　　　或是有在統計上敘述的不妥之處，希望有統計高手能不吝告知。


二項分佈的平均數 \(\displaystyle \mu=np=5\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)

　　　　　標準差 \(\displaystyle \sigma=\sqrt{np\left(1-p\right)}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)


　　　　　（以上兩者的證明請見 google）

（1） 題目所求　\(\displaystyle P(\frac{5-\sqrt{5}}{2}<X<\frac{5+\sqrt{5}}{2})\)

　　　　　　　　\(=P(1.38...<X<3.61...)\)

　　　　　　　　\(=P(X=2)+P(X=3)\)

　　　　　　　　\(\displaystyle =C^5_2\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3+C^5_3\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\)

　　　　　　　　\(\displaystyle =\frac{5}{8}=0.625\)


（2）如果是常態分佈的話，P(u-σ<X<u+σ)=68.xxx％\(=0.68...\)，

　　　所以只是近似於常態分佈，而非常態分佈。

補上完整的題目和部分出處

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-9 08:43 PM 編輯 ]

建議將隨機變數 \(\displaystyle x\) 用 大寫 \(\displaystyle X\) 來表示

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-5-26 10:42 AM 編輯 ]

引用:

原帖由 Joy091 於 2011-5-26 10:40 AM 發表
建議將隨機變數 \(\displaystyle x\) 用 大寫 \(\displaystyle X\) 來表示

已修改，感謝！ ^__^

請教第12題兩個小題證明。感謝。

第12題
(1)
\(\begin{align}
  & n=3k\ ,\ {{2}^{n}}-1={{8}^{k}}-1\equiv 1-1\equiv 0\ \left( \bmod \ 7 \right) \\
& n=3k+1\ ,\ {{2}^{n}}-1=2\times {{8}^{k}}-1\equiv 2-1\equiv 1\ \left( \bmod \ 7 \right) \\
& n=3k+2\ ,\ {{2}^{n}}-1=4\times {{8}^{k}}-1\equiv 4-1\equiv 3\ \left( \bmod \ 7 \right) \\
\end{align}\)
所求為 n = 3k (k 為自然數)

(2) 方法同上