老王二題證明題做法漂亮

證明第2題的第2小題
還是有一些看不懂
不知道有沒有再詳細一點!!!!!!!!!

因為函數為嚴格遞增函數(可由圖形看)
ak代入為0  k/k+1代入小於0
顯而易見ak> k/k+1
在倒數代回原式
剩下就是用分項對消處理
順便問有其他種作法嗎利用(1)的結果?

證 2. 另證：

由單調性及勘根定理可得 \(a_1 > \frac23, a_2 > \frac56 \)。

由 (1) 有 \( \sum\limits _{i=1}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^{2}a_{i}}<\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{4}+\frac{6}{5}\sum\limits _{i=2}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^{2}} \)。

而 \( \sum\limits _{i=2}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^{2}}\leq \sum\limits _{i=2}^{\infty}\frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{2} \)，

故 \( \sum\limits _{i=1}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^{2}a_{i}}<\frac{3}{8}+\frac{3}{5}=\frac{39}{40} \)。

感謝

這題真的有難，查了一下。1997 ARML 考過。
當時這題是選擇題，只要選出一組正確的解(a,b,c)即可。
但中科實中考的時候把它變填充題，還要求出a+b+c的值。
那很明顯就不一定是唯一解了，按照 nanpolend 您的解法，也只求出一組解(a,b,c)。
是否有可能有其它的解？或如何證明其它組解(x,y,z)，x+y+z也是1/3？這些似乎非常困難。
而92年學科能力競賽也考過(不知當時是否也是這樣出)。

這題看似與1997 ARML相同，但一旦變填充題或計算題，考量到是否唯一解的話似乎變的非常困難。
命題老師在這方面或許應多加留意~~